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異なる$\bm{n}$個のものの中から$\bm{r}$個を取り出して1列に並べる順列の総数}は} \\[.5zh] \kaizyou\,は「階乗」と読む.\ \ \bm{5\kaizyou=120}\ は暗記しておくと計算が楽になる. \\[1zh] \bm{\zyunretu nrは,\ 階乗での表現も応用上重要である.}\ 変形できない人が多いので要確認. \\ わかりやすいように,\ 具体例を示しておく なぜこれらの式で順列の総数が求まるか(数式の意味)を,\ 以下の問題で確認する. 7人から3人選んで1列に並べるときの並び方は何通りあるか.$ \\ 「3人選んで並べる」は,\ \ \fbox{ }\ \fbox{ }\ \fbox{ }\ \ に1人ずつ入れていくと考える. \\[.2zh] どちらからでもよいが,\ 左から入れていくとする. \\[.2zh] 左の\ \fbox{ }\ には,\ 7人から1人選んで入れるから,\ 7通りの入れ方がある. \\[.2zh] 7人のうち,\ 1人が左に入ると,\ 残りは6人である. \\[.2zh] 真ん中の\ \fbox{ }\ には,\ 残りの6人から1人選んで入れるから,\ 6通りの入れ方がある. \\[.5zh] 最後,\ 残りの5人から1人選んで,\ 右の\ \fbox{ }\ に入れるから,\ 5通りの入れ方がある. \\[1zh] ここで,\ 左の7通りのいずれに対しても,\ 真ん中は6通りある. \\ つまり,\ 誰が左に入っても,\ 真ん中は残り6人のうち誰かを入れることになる. \\ よって,\ 左と真ん中の入れ方は7\times6=42通りある. \\ さらに,\ 42通りのいずれに対しても,\ 右は5通りがある. \\ つまり,\ 誰が左と真ん中に入っても,\ 右は残り5人のうち誰かを入れることになる. \\ 結局,\ 42\times5=210通りと求めることができる. \\[1zh] 要は,\ これは単なる\bm{「積の法則」}であり,\ それ以上でもそれ以下でもない. \\ 実は,\ \zyunretu nr\,や\,n\kaizyou\,には,\ 記述を楽にする以上の存在価値はない. \\ 重要なのは公式\,\zyunretu nr,\ n\kaizyou\,ではなく,\ \bm{「順列が積の法則で求まる」}ことである. \\ \zyunretu73\,という表現はどうでもいい.\ 7\cdot6\cdot5\ の意味合いが重要なのだ. \\ 理解なく「並べるから\zyunretu nrだ」などという安易な考えは,\ 応用問題には通用しない. \\[1zh] なお,\ 断りがない場合,\ 人は区別できると考える. \\ 順列\,\zyunretu nr\,は,\ \bm{「\underline{異なる}\,n個」}からr個取り出して並べる場合の数である. \\ 区別できないものを含む場合,\ 単純に\,\zyunretu nr\,にはならない.\ これは他で取り上げる. \\[1zh] また,\ 「3人選んで」を見て安易に\,\kumiawase73\,と考える人も少なくない. \\ \bm{\zyunretu nr\,も\,\kumiawase nr\,も「\underline{異なる}\,n個からr個選ぶ」ことに変わりはない.} \\ 違うのは,\ \bm{並べるか否か(順序を考慮するか否か)}である. 10人から校長,\ 教頭,\ 学級担任を1人ずつ選ぶ場合の数は何通りあるか.$ \\ 単に3人選ぶだけでは,\ 誰がどの役割かまでは決まらない. \\[.2zh] \fbox{校長}\ \ \fbox{教頭}\ \ \fbox{担任}\ \ に1人ずつ入れていくと考えると\bm{順列}である. \\[.2zh] 順列であることに気付くか否かは本質的ではない. \\ \bm{「積の法則で求まる」}ことが本質であり,\ それが認識できていれば問題ない. \\ つまり,\ 10\cdot9\cdot8\ がわかっていればよく,\ \zyunretu{10}{3}\,などと書く必要は一切ない. \7個の数字1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4がある.\ 左右どちらから読んでも同じ順番$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$となるように並べるときの場合の数は何通りあるか.$ \\ 中央に4}を並べ,\ \textcolor{cyan}{4の左側に3個の数字1,\ 2,\ 3}を並べる. \\  左側の並びのそれぞれに対して,\ \textcolor{cyan}{右側は左側と対称な並びの1通り}である. \\  よって,\ 求める場合の数は,\ \textcolor{red}{3個の数字1,\ 2,\ 3の並び方}に等しい. \ \bm{特殊な4に着目する}のがポイントである. \\ 左右対称になるためには,\ 1個しかない4が中央に並ぶ必要がある. \\ ○○○4△△△  そして,\ 左の3個の○の中には,\ 1,\ 2,\ 3のいずれかが入る. \\ また,\ \bm{○の部分が決まれば,\ △の部分の並びは自動的に定まる.} \\ 例えば,\ 左側が231と決まれば,\ 右側は132の1通りである. \\ 結局,\ ○の部分に入れる1,\ 2,\ 3の並び方が何通りかを求めればよい. \\ 7個の数字の並びだが,\ 条件を考慮すると,\ 左3つの並び方に帰着するのである. \\ 正確にいえば,\ 1\times3\kaizyou\times1=6\ として求めたことになる. \\ 最初の1は,\ 中央に入る数が4の1通りであることを意味する. \\ 3\kaizyou=6 は左側の並び,\ そしてその6通りのいずれに対しても,\ 右側は1通りである. 男子4人と女子3人を1列に並べるとき,\ 次の並び方は何通りあるか.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw} $(1)\ \ 少なくとも一方の端に女子が並ぶ.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw} $(2)\ \ 男子と女子が交互に並ぶ.$ \\  (1)\ \ $7人全員の並び方は 7\kaizyou=5040\ (通り)両端に男子}がくる並び方は \textcolor{cyan}{\zyunretu42\times5\kaizyou}=4\cdot3\times120=1440\ (通り)$ \\[1zh] \centerline{$\therefore \textcolor{red}{5040-1440}=\bm{3600\ (通り)}$} \\\\[1zh]  (2)\ \ $男子4人と女子3人が交互に並ぶとき,\ 「\textcolor{red}{男女男女男女男}」の順になる.$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ $男子4人の並び方は4\kaizyou\ 通り,\ 女子3人の並び方は3\kaizyou\ 通りである. (1)\ 「少なくとも1つ~」とあるから,\ \bm{補集合を利用}する. \\ \phantom{(1)}\ 「少なくとも一方の端に女子が並ぶ」の否定は\bm{「両端に男子が並ぶ」}である. \\ \phantom{(1)}\ \bm{条件の強い両端から先に並べる.} \\ \phantom{(1)}\ 男子4人からを2人選び,\ 両端に並べるのであるから,\ \zyunretu42=12通りがある. \\ \phantom{(1)}\ この\bm{12通りのいずれに対しても,\ 残りの5人全員を間に並べる}ことになる. \\ \phantom{(1)}\ よって,\ 積の法則を適用する.\ 5人の並びは5\kaizyou(=120は暗記推奨)通りである. \\[1zh] (2)\ \bm{先に条件である男女の並びを考慮してしまおう.} \\ \phantom{(1)}\ 男子のほうが1人多いので,\ 男女の並び方は1通りである. \\ \phantom{(1)}\ もし男女が同数ならば,\ 2通りがあり得る. \rei\ 「男女男女」と「女男女男」 \\ \phantom{(1)}\ 後は,\ \bm{男子と女子を別々に並べる}ことに帰着する. \\ \phantom{(1)}\ 「○△○△○△○」の○に男子4人を,\ △に女子3人を入れると考えればよい. \\ \phantom{(1)}\ もう1度確認するが,\ ○と△(男子と女子)自体の並びはこの1通りしかない. \\ \phantom{(1)}\ よって,\ 男子だけの並びと女子だけの並びに帰着するのである. \\ \phantom{(1)}\ 例のように,\ 男女の並びが2通りある場合,\ \times\,2が必要になる. \\ \phantom{(1)}\ 男子の24通りのいずれに対しても女子が6通りなので,\ 積の法則を適用する.