線対称性に関する等式∫f(x)dx=∫f(a-x)dxを利用する定積分

∫f(x)dx=∫f(a-x)dx ∫e^x/(e^x+e^(a-x))dx ∫f(sinx)dx=∫f(cosx)dx ∫sinx/(sinx+cosx)dx ∫f(x)/(1+e^x)dx=∫f(x)dx ∫x²/(1+e^x)dx  連続関数f(x)に対し,\ ∫0}{a}f(x)dx=∫0}{a}f(a-x)dx$\ が成り立つことを示せ. 定積分$∫0}{a}{e^x}{e^x+e^{a-xdx$を求めよ. 線対称性に関する等式を利用する定積分 等式\ ∫0}{a}f(x)dx=∫0}{a}f(a-x)dx}$\ の図形的意味 ${f(a-x)はf(x)を直線\ x= a2\ に関して対称移動した関数である.$ よって,\ この等式は下左図と下右図の面積が等しいという当たり前のことを意味している. f(x)→f(a-x)を目指してx=a-tと置換する. 最後,\ {定積分では積分変数を自由に変更できる}ことを利用する. ∫xdx=∫tdt を利用すると,\ ∫0}{a}{e^x}{e^x+e^{a-xdx\ と\ ∫0}{a}{e^{a-x{e^x+e^{a-xdx\ の値が等しいことがわかる. さらに,\ この2つの定積分の和が容易に求まることを利用する. このように,\ 単独では求めにくくても,\ {ペアを作って和をとる}と求めやすくなるものがある. 本問に限っては,\ 等式を利用せずとも普通に定積分計算できる. 分母分子にe^xを掛けると分子が分母の微分型に帰着するからである(別解). log(e^{2a}+e^a)=log e^a(e^a+1)=log e^a+log(e^a+1) 直線x= a2\ に関する対称移動によって点(x,\ y)が点(X,\ y)に移るとする(y座標は変化しない). x座標の中点\ {x+X}{2}= a2 より X=a-x    よって (x,\ y)\ →\ (a-x,\ y) ゆえに,\ x→a-xとしたy=f(a-x)とy=f(x)は直線x= a2\ に関して対称である. $連続関数f(x)に対し,\ が成り立つことを示せ. 定積分$\を求めよ. 特殊な場合である. 実質的には示せばよいから,\ x={π}{2}-t\ と置換する. 最後,\ {積分変数をxに変更}して証明できる. sinとcosが混在しているのでをそのまま適用できるわけではない. ただし,\ と同様の発想と置換で\ sin x\ →\ cos x,\ cos x\ →\ sin xと変換され,\ ペアができる. このとき,\ 公式\ を用いることになる. 後は,\ {ペアの和の定積分が簡単に求まる}ことを利用すればよい. 本問は高難度の積分として代表的なもので,\ 時として誘導なしで出題されるのが厄介である. 対称性を利用する本解をパターンとして覚えておかなければかなりきつい. あるいは,\ {分母と同じ形と分母の微分形でつじつまを合わせる}別解も有効である. 三角関数の積分の最終手段である置換tan x2=tでも求められるが,\ 非常に大変である. 意欲的な学生の演習用として概略のみを以下に示しておく. 連続関数f(x)がf(x)=f(-x)を満たすとする.が成り立つことを示せ.$ 定積分$∫-1}{1}{x²}{1+e^x}dx\ を計算せよ.$ f(x)=f(-x)より,\ y=f(x)においてxにおけるy座標と-xにおけるy座標は等しい. これは,\ {f(x)が偶関数(y軸対称)}であることを意味している. 本問は,\ 偶関数f(x)に対して成り立つ有名な等式の証明である. まず,\ ∫0}{a}を目指して積分区間を分割する. ∫0}{a}ではない第1項においてf(-x)=f(x)を利用するため,\ x=-tと置換する. 積分変数をxに変更した後,\ 分母分子にe^xを掛けておく. これを元の式に戻してから整理すると与式が導かれる. 普通,\ {(偶関数)}{1+e^x}\ の不定積分は高校範囲を大幅に超える. ただし,\ を用いると定積分は容易に求まる.\ f(-x)=f(x)を確認した上でを用いる.
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