置換積分の一種「1次式置換型」:置換せずに瞬殺せよ!

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∫(3x+2)⁵dx ∫1/(2x+1)²dx ∫e^(-2/3x+7)dx ∫1/(3x+2)dx ∫cos(5-4x)dx ∫3/cos²(5x-1)dx ∫5^(8-5/3x)dx ∫1/√(1-3x)dx ∫√(4/3x+1)dx ∫1/sin²(x/2)dx ∫sin(π/3x-π/4)dx ∫f(ax+b)dx 次の積分を計算せよ {1次式置換型置換積分の特殊な場合だが,\ 置換せずに求めるべきである. 教科書に載っている公式が次である. \ これを,\ 最も基本的な積分公式\ と見比べてみよう. 着目すべきは,\ ${x}$を\ 1次式}\ ${ax+b}$に変えても${1a}$がかかる以外は変わらないことである. つまり,\ 以下のことがいえる. ${f(x)のx}$に1次式}\ ${ax+b}$を代入した関数${f(ax+b)}$の積分法 ${1次の係数の逆数1aを掛けさえすれば,\ 通常と同様に積分してよい$ 1次式をとかく強調しているのは,\ {は1次式の場合にしか成り立たない公式}だからである. では,\ なぜ1次式の場合のみこのような公式が成り立つのだろうか. {原理を考える}ことで,\ 2次式などに対しても応用が可能かを判断することができる. 公式は,\ 次のように合成関数F(ax+b)の微分の逆として導かれたものである. {F(ax+b)}’=F'(ax+b)(ax+b)’=aF'(ax+b)=af(ax+b) よって f(ax+b)=1a{F(ax+b)}’ ゆえに 同様にして,\ 合成関数F(ax²+bx+c)の微分の逆を考えてみよう. {F(ax²+bx+c)}’=F'(ax²+bx+c)(ax²+bx+c)’ { {F(ax²+bx+c)}’}=(2ax+b)F'(ax²+bx+c)=(2ax+b)f(ax²+bx+c) よって f(ax²+bx+c)=F(ax²+bx+c)}’}{2ax+b} ゆえに ∫f(ax²+bx+c)dx=∫F(ax²+bx+c)}’}{2ax+b}dx 1次式の場合の\ 1a\ とは異なり,\ 積分変数xを含む\ {1}{2ax+b}\ は\ ∫\ の前に出せない. これ以上はどうすることもできないし,\ このような複雑な式を公式とする意味もない. こうして,\ 2次式の場合には1次式の場合ののような便利公式が存在しないことがわかる. 結局,\ {微分が定数になるという1次式特有の性質が公式の根幹にあった}わけである. f(x³)やf(sin x)など,\ 微分が定数にならない式を代入した場合はのような公式が成り立たない. あくまでも,\ {はxに\ 1次式}\ ax+bを代入した関数の積分のみに通用する公式なのである. 置換積分の特殊な場合であることも示しておく. ax+b=t\ とおくと x={t-b}{a}\ より dx=1adt ∫f(ax+b)dx=∫f(t)1adt=1a∫f(t)dt=1aF(t)+C=1aF(ax+b)+C 置換積分の過程を省略したのが公式であり,\ これを使えばいちいち置換せずとも瞬殺できる. 公式が適用できるタイプの積分を,\ 当サイトでは『1次式置換型』と呼ぶことにする. 名称があることで型・パターンとして認識しやすくなり,\ 説明も楽になる. 本当は勝手に一般的ではない名称を付けたりはしたくないのだが,\ やむを得ない. 公式\ ∫x⁵dx=16x^6+C\ のxに1次式3x+2を代入した形である. {1次の係数である3の逆数\ 13\ を掛ける以外は公式そのものである.} ここでは途中過程も丁寧に示したが,\ 実際には直ちに答えを書いて終えればよい. 比較のため,\ tで置換する別解も示した.\ どれだけ無駄が多いかがわかるだろう. 時間がかかる上,\ 処理が増えるほどミスの確率も大きくなる.\ 1次式置換型は必ず瞬殺してほしい. 公式を暗記していれば,\ 1次式置換型であることに気付け,\ 瞬殺できる. 後の計算を楽にするためにも,\ {係数はさっさと前に出す}こと. 公式を暗記していなければ,\ 気付けるはずもなく,\ 置換積分することになる. 定積分で置換積分する場合,\ 積分区間を変更する必要があり,\ 不定積分以上に面倒になるを公式として暗記しておくことがいかに大事かがわかるなので,\ 仮に公式を覚えていなくても次ならば可能 次の積分を計算せよ. 公式を覚えていない場合,\ と考える. 公式を覚えていない場合,\ 本問の場合,\ とした方がまとまりがよい. 定数項がない場合,\ 1次式置換型に気付きにくくなることがあるので注意. 1次式置換型として普通に計算するだけと思いきや,\ 代入後の三角関数の計算が難所である. cos{5}{12}π\ (=cos75°),\ cos{1}{12}π\ (=cos15°)は値を覚えていない限り,\ すぐには答えられない. 本解のように,\ 和積の公式\ cos A-cos B=-2sin{A+B}{2}sin{A-B}{2}\ を利用するのが速 数III}を学習する上では,\ {和積・積和の公式の暗記は必須と心得ておくこと. 最悪,\ {加法定理を利用して求めることができる. {6}\ に気付けないって? そんなことはない.\ 単にcos75°=cos(45°+30°),\ cos15°=cos(45°-30°)としただけである. 積分前や積分直後に加法定理を適用する別解も考えられる.
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