置換積分の一種「微分形接触型」:最重要の置換の目安

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「微分形接触型」は造語なので他では使わないように!

∫(x+2)e^(x²+4x+1)dx ∫x⁵√(x³+1)dx ∫log(logx)/xlogxdx ∫f(g(x))g'(x)dx ∫sinxsin(cosx)dx ∫tanx/((tanx-1)²cos²x)dx ∫e^(3x)/√(e^x+1)dx ∫cosxlog(sinx)dx ∫3^(x+3^x)dx ∫1/(√xsin²√x)dx 次の積分を計算せよ. 微分形接触型 教科書には,\ 次のようなものが公式として載っている. この公式を丸暗記しても何ら役立たない.\ その意味合いを考える. {複}{雑}{な}{左}{辺}において${g(x)=t$とおくと,\ ${g'(x)dx=dt$より,\ {簡}{潔}{な}{右}{辺}が導かれる. この公式の意義は,\ 何を置換すべきかを示唆しているところにある. ${微分形g'(x)接触型関数の積分は,\ {g(x)=t\ とおけば必ず微分形が消えて簡単になる.$ 100\%成功するこれこそが置換積分の最重要目安である. 微分形${g'(x)}$接触型関数の積分法 ${微分する前のg(x)をtとおけば100\%成功する$ {両辺をxで微分}]$} 係数を調整するxに戻すのを忘れない} (x²+4x+1)’=2x+4=2(x+2)である. {微分形x+2が接触している}から,\ {微分する前のx²+4x+1をtとおけばよい.} (x²+4x)’=2x+4=2(x+2)であることを考慮すると,\ x²+4x=tとおいても計算可能である. しかし,\ {定数項もまとめて置換する}ほうが後が楽になることが多い. 係数の違いは容易に調整することが可能である.\ これが難しければ,\ 次のように考えてもよい. 置換の目安を知らなくても,\ 何となく\ x²+4x+1=t\ と置換したくなるかもしれない. しかし,\ 本問はそれでよくても,\ より複雑な問題に対して応用が利かなくなる. {微分形接触型に気付き,\ 100\%成功するという確信の元で置換する}ことが重要である. 「なんか適当に置換してみたらうまくいったー♪」では不十分である. 数学が得意な学生は,\ この程度の問題ならば一旦理解してしまえば瞬殺も可能であろう. ただし,\ 記述式試験で答えだけを書くのはやや論理不足かもしれない. その場合,\ 下のように記述して微分形接触型を見抜いたことをアピールするとよい. 定積分で積分区間の変更の必要がなくなるなど,\ 置換せずに答えを出すことのメリットは大きい. ∫(x+2)e^{x²+4x+1}dx=12∫(x²+4x+1)’e^{x²+4x+1}dx=12e^{x²+4x+1}+C 「微分形接触型という好都合な関数は少なくない?公式使う機会あるの?」と思うかもしれない. しかし,\ その考えは誤りである.\ そもそも,\ 高校範囲で積分できる関数は少ない. 本問も,\ もし\ ∫e^{x²+4x+1}dx\ であれば高校範囲では積分できない. そこで,\ 高校範囲内で積分できるようわざと微分形を接触させて問題を作ったわけである. {高校数学を遙かに超える積分であっても,\ 微分形をつけるだけで一瞬で高校範囲内の積分になる.} 一見して難しそうに思える積分問題を容易に作成できるため,\ {微分形接触型は超超頻出なのである. 問題集を眺めてみると,\ よく見たら微分形接触型という問題があちこちで見つかるはずである. を分離すると微分形接触型とみることができる. x³=t^1\ も考慮して,\ tのみの積分に変換でき,\ 後は展開して計算するだけである. 公式\ ∫ xdx=23x x+C\ があるが,\ ここでは\ t^3/2\ と統一するために\ t^1/2\ と指数で表した. できる限り因数分解する方向で整理するとうまくまとまる.\ t^5/2とt^3/2\ からはt^3/2\ がくくり出せる. \ log x=t}\ とおくと  一度置換すると,\ さらに微分形接触型となるのでもう一度置換する.\ 最後,\ 二段階でxに戻せばよい. {log(log x)}’={1}{log x}(log x)’={1}{xlog x}\ である. よって,\ {log(log x)に微分形\ {1}{xlog x}\ が接触している}とみなすこともできる. もしこのことに気付けたならば,\ 一度の置換積分で済む. 「自分にはこんなの気付けない.\ 丸暗記しておこう」などと思考停止してはならない. 真に重要なのは,\ 初見で別解に気付くか否かではなく,\ 以下のような思考である. 実は,\ {積分の計算問題では,\ 1つの答えから逆に考えると別解を発見できることが少なくない. 本解の答え\ 1/2log(log x)²を見て,次のように思えないだろうか. 「これって\ log(log x)=tとして\ ∫tdt\ を計算するとできる形だよな」 そう思って実際に試してみることで別解を発見できるわけである. さらに理解を深めるためには,\ 自分で問題を作ってみることも有効である. 次のようにして,\ log( )を丸ごとtで置換する同様のタイプの積分を量産することができる. 次の積分を計算せよ. .\ 係数の-1の調整が必要である. より,\ tan x-1=t\ とおく. 定数項もまとめて置換しなければ後が面倒である. 分母が1つの項の積分になるので分割する. 公式 e^{3x}=e^{2x} e^x\ と考えると,\ (e^x+1)’=e^x\ が接触しているから,\ e^x+1=t\ とおく. 定数項もまとめて置換しなければ後が面倒である. 分母が1つの項になるので分割する. 公式\ すべて指数で統一し,\ 因数分解する方向で整理するとうまくまとまる. t^5/2,\ t^3/2,\ t^1/2\ からは\ t^1/2\ がくくり出せる. (sin x)’=cos x\ より,\ sin x=t\ とおく. 公式\ ∫log xdx=xlog x-x+C 3^{x+3^x}=3^x3^{3^x}\ と考えると,\ (3^x)’=3^xlog3\ が接触しているから,\ 3^x=t\ とおく. 係数log3の調整が必要である. ( x)’={1}{2 x}\ より,\ x=t\ とおく.\ 係数\ 12\ の調整が必要である.
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