指数関数の積分:最悪ex=tとおけ!

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∫1/(e^x+1)dx ∫e^(2x)/(1-e^x)dx ∫e^x/(e^x+1)²dx ∫e^x(e^x+1)/(e^x+3)dx ∫1/(e^x-e^(-x))dx ∫1/(e^x+2e^(-x)+3)dx ∫1/(e^x+1)²dx ∫e^(-x)/(e^x+1)dx  次の積分を計算せよ.m{指数関数の積分}$}] 根本的に重要なのは,\ 次の事実1つである. ${e^{x}=t\ と置換すると,\ 必ずtのみの積分に帰着する.$ ただし,\ この方法が常に最良であるとは限らない. 無理矢理微分形接触型に変形する解法が時としてかなり有効である. 本解が正攻法である.\ 分数関数の積分ではe^x+1=tとすべきであったが,\ 本問ではほぼ意味がない. e^x+1=tのときdx={dt}{e^x}={dt}{t-1}\ となり,\ {1}{e^x+1}dx=1t{1}{t-1}dt\ となるからである. 分母が因数分解できるタイプの分数関数は,\ {部分分数分解}してから積分するのであった. {1}{(t+1)t}={A}{t+1}+{B}{t}\ とおいて分母をはらうと 1=At+B(t+1)   t=-1としてA=-1,t=0としてB=1を得る. 常にe^x>0より,\ 絶対値ははずせる. 本問は圧倒的に簡潔な別解1を習得しておきたい.\ 考え方が他の問題に通用する点でも重要である. {分子を分母と相性のよい形に無理矢理変形した後に分割する}のである. ここで,\ 相性のよい形とは,\ {分母と同じ形または分母を微分した形}である. 分母と同じ形ならば{約分}できるし,\ 分母を微分した形ならば{分子が分母の微分型}となる. 本問では,\ 分母と同じe^x+1およびその微分形e^xで分子を表すことを考える. 簡単にはいかないことが多いが,\ 本問は簡単である.\ e^x+1を作り,\ e^xでつじつまを合わせればよい. {分母分子にe^{-x}を掛ける}ことで一発で分子が分母の微分型に帰着させるうまい方法もある(別解2). \ 分子の次数が分母の次数より高い場合は{分子の次数を分母より低くする}のであった. 特に分子と分母の次数が同じ場合は,\ {分子に分母と同じ形を作った後につじつまを合わせる}と速い. ∫{1}{1-t}dt=-log1-t}+C\ では-を忘れない(1次式置換型). 目的のe^{2x}を作るため,\ 分母と同じ形1-e^xに-e^{x}を掛け,\ e^xを足してつじつまを合わせる(別解). 公式\ 微分形接触累乗型\とみなせれば瞬殺である(別解). 別解では,\ (e^x+1)のほうでe^x+3を作り,\ つじつまを合わせる. e^xのほうでe^x+3を作ると二度手間になる. \ とおいて分母をはらうと 1=A(t+1)+B(t-1)   t=1としてA=12,t=-1としてB=-12\ を得る. 別解は経験がなければ難しい.\ まず分母分子にe^xを掛けた後,\ 分母を因数分解する. さらに,\ 分母と同じe^x+1,\ e^x-1,\ その微分e^xを組み合わせ,\ 約分・分割できるようにする. ただし,とすべきではない. さらにと同じ変形を要するからである.\ 解答では,\ 約分後に直ちに分子が分母の微分型となる. 分母の因数に累乗がある場合,\ その因数の1次から最高次までを全て分母として分解するのであった. {1}{t²(t-1)}= At+{B}{t²}+{C}{t-1}\ として分母をはらうと 1=At(t-1)+B(t-1)+Ct² t=0としてB=-1,t=1としてC=1,t=2としてA=-1を得る. 別解では,\ まず分母と同じ形をおくと,\ e^{2x}+2e^xが余分になる. そこで,\ e^{2x}+2e^x=e^x(e^x+2)=e^x{(e^x+1)-1}=e^x(e^x+1)-e^x\ を引く. ∫{e^x}{(e^x+1)²}dxはの微分形接触累乗型である. t=0としてB=1,t=-1としてC=1,t=1としてA=-1 別解1では,\ 分母と同じ形e^x+1にe^{-x}を掛けるとe^xe^{-x}=1が余分になる. そこで,\ 1=(e^x+1)-e^x\ を引く. 分子にe^{-x}があることを考慮すると,\ e^{-x}=tと置換するほうが楽である(別解2). e^{-x}の微分形e^{-x}が接触しているとみなせるからである.
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