三角関数の積分⑧:文字を含む三角関数の積の定積分 ∫sinmxcosnxdxなど

∫sin²mxdx ∫cos²2mxdx ∫sinmxsinnxdx ∫cosmxcosnxdx ∫sinmxcosnxdx ∫sinmxcosmxdx I_{m,\ n}=∫0}{π}cos mxcos nxdx,J_{m,\ n}=∫-π}{π}cos mxcos nxdx\ (m,\ n:整数)$を求めよ. 三角関数の積分\maru8:文字を含む三角関数の積の定積分は偶関数 三角関数の積の積分は,\ {積和の公式で和の形にすると1次式置換型に帰着する.} ただし,\ {文字を含むときは分母が0になる場合を分けて考えなければならない. 本問では,\ 分母にくるm+nとm-nがそれぞれ0になるか否かで4つに場合分けする必要がある. \ 積分後の代入時に注意すべきは,\ {sin kπ=0\ (k:整数)}となることである. 具体的に言えば,\ =sin(-2π)=sin(-π)=sin0=sinπ=sin2π==0である. m,\ nは整数であるから,\ m+n,\ m-n,\ 2n,\ -2nも整数である. よって,\ sin(m+n)π=0,\ sin(m-n)π=0,\ sin2nπ=0,\ sin(-2nπ)=0である. J_{m,\ n}は{積分区間が対称}であるから,\ {偶関数・奇関数の性質が利用できる. f(-x)=f(x)を満たすならばf(x)は偶関数であり,\ ∫-a}{a}f(x)dx=2∫0}{a}f(x)dx\ が成立する. cos(-θ)=cosθ\ を考慮すると,\ 結局J_{m,\ n}=2I_{m,\ n}となる. 本問ではm,\ nを整数としたが,\ {m,\ nを自然数}とする出題も多い. このときm+n0なので,\ m-n=0とm-n0,\ つまりm=nとm nの場合分けで済む. (m,\ n:整数)$を求めよ.{m+nが偶数}{m-nも偶数m+nが奇数{m-nも奇数}であり,\ このとき$ nx$は奇関数}である. cos kπ\ (k:整数)はsin kπ=0のように単純にはいかず,\ {kが偶数か奇数かで値が変わる.} {kが偶数のとき  {kが奇数のとき  よって,\ {m+nとm-nがそれぞれ偶数か奇数かで場合分けする必要が生じる.} しかし,\ 実は{m+nとm-nの偶奇は一致する.} 和m+nが偶数となるのは(m,\ n)=(偶,\ 偶),\ (奇,\ 奇)のときで,\ このとき差m-nも偶数となる. 和m+nが奇数となるのは(m,\ n)=(偶,\ 奇),\ (奇,\ 偶)のときで,\ このとき差m-nも奇数となる. 結局,\ (i)}では{m+nが偶数か奇数かで場合分けすれば済む.} 2n,\ -2nは常に偶数であるから,\ cos2nπ=cos(-2nπ)=1である. 最終的にmnかつm+nが奇数の場合以外は0となるので,\ できればこれらを全てまとめたい. (ii)と(iv)}はm+n=0であるから,\ これはm+nが偶数のときに含まれる. また,\ (iii)}のm=nのときm+n=2nより,\ これもm+nが偶数のときに含まれる. 以上から,\ 最終的な答えもm+nが偶数か奇数かだけで場合分けしておけば済む. (m+nが奇数ならば自動的にmnである) f(-x)=-f(x)を満たすならばf(x)は奇関数であり,\ ∫-a}{a}f(x)dx=0が成立する. }]$ 以上のように導かれた事実のうち,\ 以下のものは応用上特に重要であり,\ 記憶に値する. ${m,\ nが自然数},\ m n}のとき}$ \ 要するに,\ {異なる三角関数の積を区間幅2πで積分すると0,\ 同じ三角関数の場合はπ}になる. {[0→2π]のように区間幅が2πでさえあれば,\ [-π→π]に限らず同じ値になる}ことも重要である. sin x,\ cos xの最短周期は,\ 言うまでもなく2πである. 一般に,\ 式と図形は逆の関係にあるから,\ 式をx→kxとすると図形的にはx方向に1k倍される. よって,\ sin kx,\ cos kxの最短周期は{2π}{k}となる. これはその整数倍である2πも周期としてもつことを意味し,\ それゆえ積分結果が一致するのである.
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