微分形接触型の一種「分子が分母の微分型」:置換せずに瞬殺せよ!

∫x/(x²+1)dx ∫(e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x))dx ∫sinx/(cosx-1)dx ∫1/x(logx+1)dx ∫cosx/(1-sinx)dx ∫2^x/(2^x+1)dx ∫1/(cos²x(tanx+1))dx ∫1/(√x(√x+1))dx ∫sin2x/(1+sin²x)dx ∫f'(x)/f(x)dx 次の積分を計算せよ.$ \ {分子が分母の微分型 教科書には,\ 次のような公式が載っている. 公式} ∫{f'(x)}{f(x)dx=log{|f(x)|+C}$ ${f'(x)}{f(x)}={1}{f(x)} f'(x)より,\ これは微分形接触型である.$ よって,\ 次のように置換して計算することができる. しかし,\ 時間短縮やミス減少の観点から,\ 積分は置換なしで計算するに越したことはない. そこで,\ この型の積分を公式として使っていこうというわけである. 分母{全}{体}を微分すると分子{全}{体}になる関数の積分法 {瞬殺する 当サイトでは,\ この型の積分を「分子が分母の微分型」と呼ぶことにする. この型は置換し終わってから気付いても意味がない. 分数の積分では,\ 何よりも優先してこの型でないかを確認する癖をつけておこう. 何がともあれ重要なのは,\ まずは{分子が分母の微分でないかを真っ先に疑ってかかる}ことである. ここではそうしても,\ 試験でいきなり出題されると確認を忘れる学生が非常に多いのである. (x²+1)’=2x\ より,\ 分子が分母の微分型であることがわかる. [0zh] 後は係数を調整してから公式を適用すればよい. {中身が常に正ならば,\ 対数の真数部分の絶対値ははずす.}常に\ x²+1>0\ である. より,\ 分子が分母の微分型である. 常に\ e^x>0,\ e^{-x}>0\ より,\ e^x+e^{-x}>0\ であるから,\ 絶対値ははずせる. より,\ 分子が分母の微分型である. 係数の-1を調整してから公式を適用する.\ cos x-1は負になりうるため,\ 絶対値ははずせない. 分母の微分が分数になる場合,\ 一気に「分子が分母の微分型」に気付きにくくなる. 結果として,\ 分子にあるはずのものが分母にあることになるからである. つまり,\ {1}{x(log x+1)}\ を\ {1x}{log x+1}\ とみなせるかが問われているわけである. これには多少の経験が必要であろう. 常に-1sin x1\ より,\ 1-sin x0\ である. さらに,\ {分母が1-sin x\ である問題では,\ 1-sin x0\ を前提としてよい.} よって\ 1-sin x>0\ であり,\ 絶対値をはずすことができる. 常に\ 2^x>0\ より\ 2^x+1>0\ であるから,\ 絶対値をはずすことができる. ,\ 微分が分数になる関数は,\ log x,\ tan x,\ x\ が主である. {,\ }これらの関数が絡む「分子が分母の微分型」は気付きにくくなるので注意が必要である. {,\ }常に\ x0\ より\ x+1>0\ であるから,\ 絶対値をはずすことができる. (1+sin²x)’=2sin xcos x=sin 2x\ に気付けるかは,\ 演習量がものをいう. 三角関数の各種公式や微分計算に習熟している必要もあるだろう. 常に-1sin x1\ より\ 0sin²x1\ であり,\ 1+sin²x>0\ となるから絶対値ははずせる.

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