特殊な置換をする不定積分:√(x²+a²)を含む不定積分(最高難度)と特殊な置換の根拠

定積分ではなく不定積分でした(;>_<;)

∫1/√(x²+1)dx ∫√(x²+1)dx 特殊な置換積分:$x²+a²}\ を含む定積分}$ これらは,\ 高校数学で登場する中で最高難度の積分パターンである. 次のような特殊な置換をすると求めることができる.両辺を2乗すると\ つまり,\ とは実質同じ置換である. の一種とみなせば,\ x=tanθ\ とおくことも自然である. ただし,\ この置換は計算量が膨大になるので本パターンに対しては実戦的ではない. ところで,\ {~[5]の置換の発想の根拠}は何なのだろうか. {1-x²}\ に対しては,\ x=sinθ\ という置換が有効であった. y={1-x²}\ の両辺を2乗して整理すると x²+y²=1(y0) これは円(の上半分)であり,\ その{媒介変数表示}として\ (x,\ y)=(cosθ,\ sinθ)\ がある. そこに,\ x=cosθ\ とおく発想の根拠があるのである(実際にはx=sinθのほうが楽). 同様に,\ y={x²+1}\ の両辺を2乗して整理すると {x²-y²=-1(y0)} これは2次曲線で学習する{双曲線}(の上半分)である.\ 双曲線の主な媒介変数表示は3つある. 高校生にとって最も重要な媒介変数表示は,\ {(x,\ y)=(tanθ,\ {1}{cosθ})}である. 実際,\ x²-y²=tan²θ-{1}{cos²θ}=-1が成立する.  これが[5]の置換の根拠であるが,\ 先に述べたように実戦で使うのは推奨されない. \ 連立すると  この媒介変数表示が,\ ,\ の置換の根拠である.\ y0\ のとき,\ t>0である. 大学では,\ {双曲線関数}\ sinh θ={e^{θ}-e^{-θ{2},coshθ={e^{θ}+e^{-θ{2}\ を学習する. sinh θは,\ ハイパーボリックサイン(hyperbolic;双曲的)と呼ばれる関数である. 双曲線関数の性質は,\ 三角関数(円関数)と似ている(e^{θ}の形で計算してみると容易に証明できる). 例えば,\ {(sinh θ)²-(cosh θ)²=-1,(sinh θ)’=cosh θ}\ である. これは,\ 双曲線\ x²-y²=-1\ の媒介変数表示が次であることを意味する. これが,\ [3],\ [4]の置換の根拠である.\ 大学生ならば,\ 統一的に計算できる. 高校生でも\ x={e^{θ}-e^{-θ{2}\ とおくことで,\ 大学生と同様の計算が可能になるのである. 高校生にとって{最も標準的な置換で,\ なおかつ簡潔に済む}ので,\ 暗記しておくべきである. 微分では\ ( x)’={1}{2 x}\ を公式として利用した. であるから,\ 絶対値ははずれる. 置換により,\ {1}{cosθ}\ の積分に帰着する.\ 分母分子にcosθを掛け,\ 微分形接触型f(sinθ)cosθに変形する. sinθ=tとおくとcosθdθ=dt,分母が因数分解できるので部分分数分解する. {部分積分し,\ 約分できるように分割した後に整理すると,\ の積分に帰着する.} 高校生にとって基本としておくべき解法である. の積分結果が必要なことを考慮しても,\ 他の解法よりは簡潔に済む. では楽だったこの置換も,\ では簡単ではない.\ うまくxに戻すには適切な変形が必要になる. を最後に使用することになる. これと,\ e^t-e^{-t}=2x\ を最後に使用することになる. 面倒なので取り上げなかったが,\ $x=tanθ$とおくとさらに2倍以上の計算が必要になる. 以上を全て踏まえると,\ 公式として暗記しておくのが最強である. ついでに,\ 負の場合も含めて公式として暗記してしまおう. 覚えにくい公式は,\ 試験直前に確認して試験開始直後に余白に書く方法もある(合法カンニング). なお,\ x+{x²-a²}は正とは限らないので絶対値をつけておく. 公式として覚えておけば,\ いざという場合には以下のような解答が可能になる.
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