対数関数の積分:対数の性質や部分積分を利用せよ!

∫log₂xdx ∫log√xdx ∫log|x|dx ∫logx²dx ∫logx³dx ∫log(x²-1)dx ∫log(x+√(x²+1))dx ∫x²log(x+1)dx $次の積分を計算せよ.$ 対数関数の積分}$} 対数関数の積分は,\ 微分形接触型などの特殊な型でもない限り,\ 部分積分することになる. すでに部分積分でかなり取り上げたが,\ ここではその他の重要な考え方を学習する. 特に,\ 部分積分の前に対数の性質を用いて簡単にすることを考えていく. \は公式として積極利用する. \ 底がeでない場合,\ 底の変換公式\ log_ab={log_cb}{log_ca}\ を用いてeに変換すると公式が使える. なし,\ 対数の性質を用いて指数部分を前に出してしまえば公式が使える. 対数の性質を利用しない場合,\ 対数関数の積分の基本に従って部分積分することになる(別解). \ まず,\ 単純に公式を適用して\ ∫x}dx=x}logx}-x}+C\ とするのは{誤り}である. 本来,\ 絶対値付き関数の積分では,\ まず場合分けして絶対値をはずさなければならない. しかし,\ 本問は{部分積分することで絶対値をはずす時に通常必要な場合分けをうまく回避できる.} 以下のようにして,\ 絶対値の対数を微分するときに絶対値をはずせるからである. \対数の性質\ log M^r=rlog Mを用いると指数を前に出せる. このとき,\ log x²=2log xとするのは{誤り}である. 問題の対数log x²の定義域は,\ 真数部分x²>0,\ つまりx0である. よって,\ この{x0が本問の隠れた前提条件}となる. これをlog xとしてしまうとx>0でしか定義されなくなる. x<0でも定義されるようlog xとしなければならないのである. ここではの結果を利用しておいたが,\ 実際にはきちんと部分積分して導くべきであろう. 普通に部分積分すると別解のようになる. (log x²)'={(x²)'}{x²}={2x}{x²}=2x あくまでも定義域はx0であるから,\ 最後に2xlog xとしてしまわないように注意する.定義域はx³>0,\ つまりx>0なので絶対値をつける必要はなく,\ 普通の公式が適用できる. 対数の性質\ log MN=log M+log Nを利用して分割するとと同様の積分に帰着する. ここでも,\ log(x+1)(x-1)=log(x+1)+log(x-1)とするのは{誤り}なので注意する. 問題がlog(x²-1)なので,\ 真数x²-1>0,\ つまりx<-1\ ま}た}は}\ 10,\ x-1>0とは限らない. よって,\ log(x+1)(x-1)=logx+1}+logx-1}\ としなければならない. 部分積分の際に後の約分を見越して1=(x+1)’,\ 1=(x-1)’とみなすのはもはや常識であろう. 普通に部分積分すると,\ {分子の次数下げと部分分数分解}が必要になる. 高難度の積分の代表である.\ 結局は部分積分なのだが,\ 途中計算が大変な上に置換積分も必要になる. \ {微分形接触型}である.\ x²+1=t\ とおいてもよいが,\ {根号丸ごと置換}が速い. {x²+1}=t より x²+1=t² 両辺をxで微分すると 2x=2t{dt}{dx}\ (合成関数の微分) より  別解が普通ではあるが,\ 後の約分を見越し,\ x²={13(x³+1)}’\ とみなすのがベストである. {x³+1}{x+1}={(x+1)(x²-x+1)}{x+1}=x²-x+1 別解の場合は{分子の次数下げ}が必要になる.
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