三角関数の積分⑤:∫1/sinxdx、∫1/cosxdx

∫1/sinxdx ∫1/cosxdx 次の積分を計算せよ. 三角関数の積分:$1}{sin x},\ {1}{cos x$の積分 通常は別解1が正攻法とされ,\ 問題集などでもその解法のみが示される. 問題が単純な割に微分形接触型,\ 部分分数分解,\ 1次式置換型などが総合的に問われる. ただし,\ {圧倒的に簡潔なのは本解}である.\ かなり技巧的ではあるが,\ 是非とも習得してほしい. 本解では,\ {sin x=sin(2 x2)\ とみなし,\ 2倍角の公式\ sin2x=2sin xcos xを適用する. さらに,\ {分母分子を2cos² x2で割ることで分子が分母の微分型に帰着する. ここでは丁寧に示したが,\ 慣れれば最低限の記述で瞬殺すればよい. 別解1では,\ {分母分子にsin xを掛けて無理矢理微分形接触型に変形する. 分子にsin xが1個できるから,\ 分母をcos xのみで表すと微分形接触型f(cos x)sin xとなる. さらに,\ 分母が因数分解できるので{部分分数分解}する. {1}{(1-t)(1+t)}={A}{1-t}+{B}{1+t}\ とおいて分母をはらうと 1=A(1+t)+B(1-t)   t=1とすると\ A=12, t=-1とすると\ B=12 ∫{dt}{1-t}=-log1-t}+C\ (1次式置換型)\ では,\ {-を忘れない}ように注意. -1cos x1より,\ 1cos x0である. また,\ (問題の分母)=sin x0より,\ x nπ(n:整数)である. よって,\ cos x1より,\ 1cos x>0であるから絶対値ははずせる. 別解2では,\ {tan x2=tと置換して有理関数に帰着させる.} 一見すると簡潔に見えるが,\ sin xやdxを導くのは面倒である(結果を暗記していれば話は別). 別解3は,\ 本解の別ルートである. {1}{sin xcos x}型の積分では,\ 分子の1をsin²x+cos²xとみなすのが有効であった. 同様に,\ {分子の1をsin² x2+cos² x2として分割すると,\ 分子が分母の微分型に帰着する.} 半角の公式\ cos(2 x2)と考えてもと同様には積分できない. そこで,\ sin({π}{2}-x)=cos xを逆に用いてcosをsinに変換する. {π}{2}-x=2({π}{4}- x2)と考えると,\ 後はと同じである.x}dx={logtan( x2+{π}{4})}+C}\ となる. 別解1では,\ {分母分子にcos xを掛けて無理矢理微分形接触型に変形する. 分子にcos xが1個できるから,\ 分母をsin xのみで表すと微分形接触型f(sin x)cos xとなる. -1sin x1より,\ 1sin x0である. また,\ (問題の分母)=cos x0より,\ x {π}{2}+nπ(n:整数)である. よって,\ sin x1より,\ 1sin x>0であるから絶対値ははずせる. 別解2の方針では,\ ほど簡潔にはならない.\ 別解1と同様に部分分数分解する必要が生じる. 別解3は,\ の結果を利用するものであるdxの一方が既知ならば,\ x={π}{2}-tとおけば他方も求まる. 一般に,\ }が成り立つからである. 最後,\ t={π}{2}-xを代入してxの式に戻す. 加法定理
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