部分積分②:(多項式)×(指数関数)型

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∫xe^(2x)dx ∫x/e^xdx ∫x2^xdx ∫(x²-x+2)e^xdx  次の積分を計算せよ. \ 部分積分法 ${公式 今回扱うのは,\ ${(多項式)(指数関数)型$(${x^me^{nx},x^ma^{nx$})である. ${e^{nx},\ a^{nx$ を微分形とみなし,\ ${x^nを微分して次数を下げていくと,\ 簡単な積分に帰着する.$ まず,\ {e^{2x}を微分形とみなす}必要がある. ∫e^{2x}dx=12e^{2x}+C\ (1次式置換型)\ より,\ e^{2x}=({e^{2x{2})’\ とできる. 12xe^{2x}-14e^{2x}+C\ と答えてもよいが,\ 因数分解すると簡潔になる. {多項式が2次式}の場合,\ {部分積分を2回繰り返す}ことになる. また,\ (x²-x+2)e^x\ は展開せずに,\ x²-x+2\ を1つの関数とみて部分積分すればよい. さて,\ 定積分で部分積分を繰り返す場合,\ 代入と変形が入り乱れてミスを誘発する. 別解のように,\ {一旦不定積分を計算した後,\ まとめて代入する}とよい.

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