三角関数の積分①:三角関数の相互関係の利用

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∫1/(1-cos²x)dx ∫(tanx+1)cosxdx ∫tanxdx ∫1/tanxdx ∫tan²xdx ∫1/tan²xdx ∫1/sin²xcos²xdx ∫1/sinxcosxdx ∫sin²x/(1+cosx)dx 次の積分を計算せよ. 三角関数の積分:三角関数の相互関係 三角関数の積分はかなり厄介である.\ 様々な公式があり,\ 多彩な変形が可能だからである. その都度適切に変形し,\ 積分できる形に変形することが必要になる(別解が多いともいえる). ここでは,\ 最も基本的な公式である三角関数の相互関係を利用するものを取り上げる. ~は数I}のときから慣れ親しんできているものだが,\ 数III}ではも必要である. このとき,\ 公式を丸暗記するのではなく,\ 導き方を理解しておくことが重要である. そもそも,\ は数I}の時点でとセットで覚えておくことが推奨される. とは,\ とから同様にして導かれるからである. \ sin²x+cos²x=1を利用すると,\ 基本的な積分公式に帰着する. {tan xはとりあえず{sin x}{cos x}にしてみるとよい.\ 展開すると公式である. ,\ tan x={sin x}{cos x}\ を用いると,\ {「分子が分母の微分型」に帰着する. ,\ 1+tan²x={1}{cos²x},1+{1}{tan²x}={1}{sin²x}\ を用いると,\ 基本的な積分公式に帰着する. {,\ }パターンとして覚えていなければ,\ この変形は思い浮かばないかもしれない. {,\ }tan²x={sin²x}{cos²x}={1-cos²x}{cos²x}={1}{cos²x}-1\ などとすることも可能である. {,\ }いずれにしても,\ ~は紛らわしい上によく問われるので要確認である. ,\ 三角関数の積分では,\ {1を逆にsin²x+cos²xとみなすとうまくいくものがたまにある. {,\ }その後分割すると,\ は基本公式,\ は「分子が分母の微分型」に帰着する. {,\ }これ以外の解法も後に取り上げるが,\ 簡潔に済むこの考え方を是非習得しておいて欲しい. sin²xが1+cos xや1-cos xと約分できる(相性がよい)ことは常に認識しておく必要がある. もちろん,\ 同様にcos²xは1sin xと約分できる(相性がよい). 別解は,\ {分母分子に1-cos xを掛けることで,\ 分母を1つの項にするという変形である. 1sin xや1cos xとそのペアを組み合わせるという発想は後に再び必要になる.
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