三角関数の積分④:tanx=t、tan(x/2)=tとおいて有理関数に帰着させる

∫tan³xdx ∫1/sin²xcos²xdx ∫1/(sinx+cosx+1)dx ∫(sinx+1)/(cosx+1)dx tan x=t\ のとき, \ .2zw}sin²x,\ cos²x\ の値を求めよ.$ $tan x2=t\ のとき, sin x,\ cos x\ tan x\ の値を求めよ.$ $,\ を利用して,\ 次の積分を計算せよ.$ 三角関数の積分:有理関数への帰着 x=2 x2とみなし,\ 2倍角の公式を適用する.\ さらに,\ 1+tan²θ={1}{cos²θ}\ も利用する. 以上から,\ またはの置換によって三角関数の積分が有理関数の積分に帰着する. 有理関数は原理的に積分が可能なので,\ あらゆる三角関数の積分が原理的に可能ということになる. しかし,\ 実際にはこの置換後に試験問題として適切な難易度の積分に帰着するものは少ない. そして,\ 置換後に適切な難易度になるものは,\ 大抵他の解法のほうが楽である. よって,\ この解法が必要になることは少なく,\ 優先度は低い. 強制的に誘導される場合やどうしようもない場合の最終手段として習得することになる. まとめると以下のようになる. tan x=t\ と置換する. 分子の次数が分母より高い場合,\ 分子の次数を下げる.は分子が分母の微分型
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