特殊な置換をする定積分①:√(a²-x²)を含む定積分はx=asinθとおけ!

∫√(9-x²)dx ∫√(16-x²)dx ∫1/√(4-x²)dx ∫√x(2-x)dx 次の定積分を計算せよ.{特殊な置換積分:$a²-x²}\ を含む定積分}$ これらの不定積分は(高校範囲では)求めることができない. しかし,\ 定積分ならば特殊な置換をすることで求めることができる. $a²-x²}\ を含む定積分は,\ {x=asin{θ}\ とおいて{置換積分する.$ 置換によって積分区間が変わることも忘れないようにしよう. \半径3の円の面積の$14$}であるから ここでは丁寧に記述したが,\ 実際には可能な限り簡潔な記述で素早く求ればよい. 例えば,\ 3行目は\ {9-x²}=3cosθ}=3cosθ\ くらいの記述で十分だろう. このとき\ {X²}= X\ に注意を要するが,\ 積分区間を考慮すると結局絶対値ははずせる. xに対応する\ θ\ は1つではないが,\ xとθが1対1で対応する\ -{π}{2}θ{π}{2}\ で考えればよい. x=3cosθ\ でも積分できるが,\ dx=-3sinθdθ,{π}{2}\ →\ 0\ となるなどいろいろ鬱陶しい. cos²θは,\ 2倍角の公式cos2θ=2cos²θ-1\ の逆で次数を下げて積分するのであった. 実は,\ 本問は\ {∫0}{3}{9-x²}dx\ の図形的意味を考えて瞬殺しなければならない}(別解). y={9-x²}\ の両辺を2乗して整理すると,\ {x²+y²=9\ (y>0)}\ となる. これは半径3の円の上半分を表す方程式であるから,\ 本問の図形的意味は右上図の面積である. どちらの解法が有利かは火を見るより明らかである. {∫{a²-x²}dx\ 型の定積分は,\ 必ず円の面積の一部とみて求めよう. \求める定積分は,\ 右図の面積に等しい. 本問も{円の面積の一部}とみるべきなのは明らかである.\ 扇形と直角三角形の和として求められる. 扇形の中心角は必ず綺麗な角度になる.\ そうでないものは高校範囲で求められないからである. 中学生的に円の13と考えてもよいし,\ 扇形の面積公式\ S=12r²θを用いてもよい. 直角三角形は30°,\ 60°,\ 90°なので辺の比は1:3:2であり,\ 高さは底辺2の3倍の23である. 円や簡単な図形ではないので,\ 普通に置換積分で求めるしかない. 型は,\ 根号内を平方完成すると∫{a²-x²}dx型に帰着する. cosθ\ は偶関数である.\ (偶関数)(偶関数)=(偶関数)より,\ cos²θも偶関数である. 偶関数f(x)の積分区間が対称な定積分なので,\ ∫-a}{a}f(x)dx=2∫0}{a}f(x)dx\ を利用する. ∫{a²-x²}dx\ に帰着するということは,\ 結局は{円}であるということである. よって,\ 図形的意味を考えて求めるべきである(別解). }]$ 最後に大学生用の不定積分の公式を紹介しておく. 意義と意味を理解できる上級者用である.\ 普通の高校生は混乱するだけなので無視して欲しい. の定積分は置換x=asinθで即求まるし,\ は円とみなせるので公式を知らなくても損はしない. y=sin x(-{π}{2} x{π}{2})の逆関数を逆正弦関数(アークサイン)といい,\ x=\arcsin yと表す. である.
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