分数関数(有理関数)の積分:分子の次数下げと部分分数分解

∫(2x+3)/(4x-1)dx ∫(x³+x²-1)/(x²-1)dx ∫(x-3)/(x²-3x+2)dx ∫1/x(x+1)(x+2)dx ∫(5x²-x-1)/(x³-1)dx ∫1/x²(1-x)dx 次の積分を計算せよ. 分数関数(有理関数)の積分 すでに「分母が1つの項なら分割」「約分」「分子が分母の微分型」については取り上げた. ここで取り上げるのはそれ以外のもので,\ 少し難易度が上がる. $$${(分子の次数)(分母の次数)$のとき,\ 分子の次数を分母より低くする. $$分母が因数分解できるとき,\ 部分分数分解する. ,\ の順で優先順位が高い. {(分子の次数)=(分母の次数)であるから,\ 分子の次数を分母より低くする.} このとき,\ {筆算で割り算}するのが確実である. 右の筆算より  分子に4x-1を無理矢理作り,\ 12と+72でつじつまを合わせたと考えてもよい. 本問のように,\ 分子と分母の次数が同じ場合はこの考え方が速い. の1次式置換型であるから,\ 忘れずに14を掛ける. {(分子の次数)>(分母の次数)であるから,\ 分子の次数を分母より低くする. 結局,\ 次数を下げた後に残る分数関数の積分に帰着する. このとき,\ 分母がx²-1だからといって因数分解しようとしてはならない. これは,\ {「分子が分母の微分型」なので瞬殺できるはずである. 分数関数では,\ {分子が分母の微分でないかを確認するのが最優先}なのである. 分数関数の積分では,\ 次数下げや部分分数分解の後に「分子が分母の微分型」がよく現れる. もちろんたまたまではなく,\ そうなるように問題を作っている. このような特殊性がない多くの分数関数は高校範囲で積分できないからである. 分子の次数はすでに分母の次数よりも低くなっている. {分母が因数分解できるから,\ 部分分数分解する.} 積分における部分分数分解において厳密さは必要ない(結果だけ書けばよい). よって,\ 恒等式の問題のように,\ 展開して係数比較などをする必要はない. {式が簡単になる数値(一方の文字を消せる数値)を両辺に代入}し,\ 素早く係数を特定する. {x-3}{(x-1)(x-2)}={A}{x-1}+{B}{x-2}\ とおいて分母をはらうと x-3=A(x-2)+B(x-1) {両辺に\ x=1\ を代入}すると\ A=2,\ {両辺に\ x=2\ を代入}すると\ B=-1 結局,\ 1次式置換型に帰着する.\ 最後,\ {対数の性質}を用いてlogをまとめるのが普通である. klog M=log M^k, log M+log N=log MN, log M-log N=log MN ここで,\ (分母)=x²-3x+2=(x-1)(x-2)0\ より,\ x1\ である. よって,\ 常に(x-1)²>0であるから,\ 絶対値をはずすことができる. とおいて分母を払うと 1=A(x+1)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x+1) x=0を代入してA=12,x=-1を代入してB=-1,x=-2を代入してC=12を得る. 答えには複数の表現が考えられる. {(定数)}{(ax+p)(ax+q)}\ や\ {(定数)}{(ax+p)(ax+q)(ax+r)}\ は,\ 数列分野(数II})でよく登場する形である. 数列分野の変形で使う公式 を用いると 分母が因数分解できるから部分分数分解する. このとき,\ {分母が2次式の項の分子は1次以下の式となる(定数とは限らない)ことに注意する. {5x²-x-1}{(x-1)(x²+x+1)}={A}{x-1}+{Bx+C}{x²+x+1}\ とおいて分母をはらうと 5x²-x-1=A(x²+x+1)+(Bx+C)(x-1) 両辺に\ x=1\ を代入すると\ A=1   このとき 4x²-2x-2=(Bx+C)(x-1) 両辺に\ x=0\ を代入すると\ C=2,x=-1\ を代入すると\ B=4 部分分数分解後の2項目の積分は,\ {「分子が分母の微分型」}である. どうせ2乗で正になるが,\ 常に\ x²+x+1=(x+12)²+34>0\ より,\ 元々絶対値はつかない. 分母の因数に累乗がある場合,その因数の1次から最高次までを全て分母として分解する必要がある. 例えば,\ {1}{(x-2)³(x-1)}={A}{x-2}+{B}{(x-2)²}+{C}{(x-2)³}+{D}{x-1}\ としなければならない. {1}{x²(1-x)}={A}{x}+{B}{x²}+{C}{1-x}\ とおいて分母をはらうと 1=Ax(1-x)+B(1-x)+Cx² 両辺に\ x=0\ を代入すると\ B=1,x=1\ を代入すると\ C=1 1=Ax(1-x)+(1-x)+x²\ となり,\ 両辺に\ x=-1\ を代入すると\ A=1 ∫{1}{1-x}dx={-log1-x}+C\ (1次式置換型)に注意すること.
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