三角関数の積分③:微分形接触型を目指して変形せよ!(最重要)

∫sin³xdx ∫cos⁵xdx ∫sin2x/(1-sinx)dx ∫cos2xtanxdx ∫sin³x/cos⁵xdx ∫1/cos⁴xdx ∫1/sin⁴xdx ∫tan³xdx ∫1/tan³xdx 次の積分を計算せよ. \三角関数の積分:微分形接触型への変形 微分形接触型は100\%置換積分が成功する. そこで,\ 各種公式を用いるなど何とかして微分形接触型に変形することを考えるのである. 三角関数の積分において,\ この考え方はかなり広く通用する. 本質的な解法に気付けなくても,\ 微分形接触型を目指して変形すると何とかなることが多い. 三角関数における微分形接触型とは,\ 主に次の4つの型のことである. 例えば,\ cos xを1個だけ分離し,\ 残りをsin xのみで表せば微分形接触型\ f(sin x)cos x\ となる. 実際には\ であるが,\ の違いは調整できるから本質的な問題ではない. sin³xからは{sin xを1個分離}できる.\ さらに,\ {残りをcos xのみで表せば微分形接触型}となる. つまり,\ sin ²xsin x=(1-cos²x)sin x\ とすれば,\ 微分形接触型f(cos x)sin x\ となる. 後は微分する前のcos xをtとおいて置換積分すればよい. sin,\ cosの3乗は,\ 3倍角の公式の逆による次数下げで積分できることはすでに取り上げた. 答えが違って見えるが,\ 3倍角の公式cos3x=4cos³x-3cos xを用いると一致する. 上級者は,\ {微分形接触累乗型\ とみて瞬殺しよう {cos xが1個分離できるので,\ 残りをsin xのみで表せば微分形接触型}となる. ,\ と同様の発想で,\ {sin^{奇数}x,cos^{奇数}x}\ を積分できる. 倍角の公式の逆で次数を下げる必要がある偶数乗の場合と比較すると,\ 非常に楽である. と同様,\ も微分形接触累乗型とみて瞬殺するのが理想である. 2倍角の公式sin2x=2sin xcos xを用いることで,\ sin xまたはcos xを1個分離できるようになる. sin xを分離して残りをcos xのみで表そうとすると余計複雑になってしまう. cos xを分離すると,\ 残りはすでにsin xのみの式であるから微分形接触型となる. 分数関数は,\ まず{分子の次数を分母よりも低くする.} (分子の次数)=(分母の次数)ならば,\ 分母と同じ形を作った後つじつまを合わせるのが速い. {t}{1-t}={1-(1-t)}{1-t}={1}{1-t}-1 1次式置換型なので,\ ∫{1}{1-t}dt=-log1-t}+Cとなる(-を掛けるのを忘れない). -1sin x1かつ(分母)=1-sin x0より1-sin x>0であるから,\ 絶対値ははずせる. 気付きにくいが,\ {分子に分母と同じ形を無理矢理作り,\ つじつまを合わせて分割する}別解もある. 結局,\ 分子が分母の微分型\ ∫{f'(x)}{f(x)}dx=logf(x)}+C\ に帰着する. [1.6zh] {別解のような技巧的な変形ができずとも,\ 微分形接触型への変形という視点を持てば積分できる.} とりあえずtan xを\ {sin x}{cos x}に変形してみると,\ sin xが1個分離できる. 残りをcos xのみで表せば微分形接触型となるから,\ 2倍角の公式\ cos2x=2cos²x-1\ を適用する. 2倍角の公式とtan x={sin x}{cos x}を適用した後に展開する別解もある. 第1項は2倍角の公式\ sin2x=2sin xcos xの逆を適用,\ 第2項は分子が分母の微分型である. sin xが1個分離できるから,\ 残りをcos xのみで表せば微分形接触型f(cos x)sin xとなる. ∫{1}{t⁵}dt=∫t^{-5}dt=-14t^{-4}+C=-{1}{4t⁴}+C 本問は別解が最も本質的な解答である. 1}{cos²x}を1個分離し,\ 残りをtan xのみ表せば微分形接触型\ f(tan x){1}{cos²x}となる.} さらに言えば,\ 本問は微分形接触累乗型で,\ ∫tan³x(tan x)’dx=14tan⁴x+C\ とできる. ,が1個分離できるから,\ 残りをtan xのみで表せば微分形接触型f(tan x){1}{cos²x}となる. そのためには,\ 三角関数の相互関係\ 1+tan²x={1}{cos²x}\ を利用すればよい. 微分形接触累乗型とみると ,が1個分離できるから,\ 残りを{1}{tan x}のみで表せば微分形接触型 そのためには,\ 三角関数の相互関係\ 1+{1}{tan²x}={1}{sin²x}\ を利用すればよい. 微分形接触累乗型とみると  別解はの結果を利用するものである.の一方が既知ならば,\ x={π}{2}-t\ とおけば他方も求まる. 一般に,\成り立つからである. 最後,\ も適用することになる. tan x={sin x}{cos x}とするとsin xが1個分離できるので,\ 残りをcos x のみで表せば微分形接触型となる. {微分形接触型\ f(tan x){1}{cos²x}\ を目指して変形}する別解も考えられる. tan x\ の積分は,\ 分子が分母の微分型に帰着させるのであった. cos xが1個分離できるので,\ 残りをsin x のみで表せば微分形接触型となる. {微分形接触型\ を目指して変形}する別解も考えられる. 別解はの結果を利用するものである
タイトルとURLをコピーしました