正多角形内のの三角形の個数(二等辺三角形・正三角形・直角三角形・鈍角三角形・鋭角三角形他)

スポンサーリンク
正12角形{A₁A₂ A_{12$の異なる3個の頂点を結んでできる次のよう な三角形の個数を求めよ.  正12角形と辺を共有しない三角形  二等辺三角形  直角三角形   鈍角三角形   鋭角三角形  互いに合同でない三角形 正12角形を書くのは難しいので,\ {円を12等分する}とよい. 正5角形以上の正多角形は,\ まず外接円を書いてから図示するようにしよう. さて,\ 辺を共有しない三角形は,\ {総数から辺を共有する三角形を引いて求める.} ただし,\ 2辺を共有する三角形と1辺を共有する三角形をそれぞれ引く. 頂角が{A₁}の2辺を共有する三角形には,\ {A₁A₂A_{12\ (左図)\ がある(1個). 頂角は{A₁,\ A₂,\ ,\ A_{12\ の12通りあるから,\ 2辺を共有する三角形は12個ある. 1辺を共有する三角形は,\ {共有する1辺を固定}して考える(右図). {A₁A₂を固定し,\ 残りの1個の頂点の取り方を考える.} {隣接する頂点A₃,\ A_{12}を除く,\ A₄,\ ,\ A_{11までの8通りがある. {A₁A₂}以外の辺に対しても8通りずつあるから,\ 128個である. 正三角形を含まない二等辺三角形}は 412}=48\ (個)$ まず,\ {「二等辺三角形」は「正三角形」も含む}ことに注意する. 頂角を{A₁}に固定したときの二等辺三角形の個数を数える. 単純には,\ 頂点は12個あるから,\ これを12倍すればよい. しかし,\ この方法は,\ 正三角形を重複して数えてしまう. 例えば,\ {頂点A₁のA₅A_9と頂点A₅のA₁A_9と頂点A_9のA₁A₅}\ は1個である. {正三角形と正三角形でない二等辺三角形を別々に数える}ことにする. 正三角形の個数は,\ 右図のように実際に書き出して数えると全部で4個ある. 正三角形でない二等辺三角形は,\ 左図のように頂点を{A₁}に固定して数える. {対称性を意識しながら数える}と4個であり,\ これを12倍すると総数が求まる. {二等辺三角形の頂角の特殊性に着目}し,\ 場合を分けた. しかし,\ 二等辺三角形の中で{正三角形だけはどの角も対等}であるが故,\ 重複する. 場合分けするときは,\ {特殊性が常に成立するかを確認}すべきなのである. 直径{A₁A_7}に対する頂点}の選び方は 10}\ (通り)$ { }直径の選び方は6通り}ある. {外接円の直径に対する円周角が直角である}ことを利用する. {外接円の直径を1つ固定}すると,\ 残りの頂点の選び方は図のように10通りある. 直径は\ {A₁A_7,\ A₂A_8,\ A₃A_9,\ A₄A_{10},\ A₅A_{11},\ A_6A_{12\ の6本あるから,\ 6倍する. 鈍角の頂点を${A₁}$}とする. が鈍角の三角形は $4+3+2+1}=10\ (個)$ { }鈍角となる頂点の選び方は12通りあるから  {鈍角の特殊性}に着目して場合分けする.\ まず,\ {A₁}が鈍角の場合を全て数える. 2個目の頂点を{A_{12に固定すると,\ 残りの頂点は4通りの選び方がある(左図). 直径となる{A_{12}A_6}までいくと,\ {A₁}が鈍角という前提条件を満たさなくなる. 2個目の頂点が{A_{11}(右図),\ A_{10},\ A_9}の場合も同様に求めていく. 2個目の頂点が{A_8}より先に進むと,\ 残りの頂点が何であれ{A₁}が鈍角ではなくなる. とにかく,\ {1辺が直径になると鈍角三角形ではなくなる}ことを意識して考えよう. 鋭角の頂点の一方を${A₁}$}に固定する. { }残りの頂点は,\ ${A₂~A_6またはA_8~A_{12}から2個}選べばよい.}$ { }その選び方は $C522}=20\ (通り)$ { }固定する頂点は12通りあるが,\ 同じ三角形を2回数えることになる. 実は,\ {鋭角を固定し,\ 後で重複度を考慮する}ほうが楽である. 直径{A₁A_7}で分割される一方の側から2個の頂点を選べば鈍角三角形となる. 鋭角は2つあるから,\ 単純に12倍すると同じ三角形を2回数えたことになる. 例えば,\ {A₁固定のA₃A_6とA_6固定のA₁A₃は同一の三角形だが,\ 2回数えてしまう.} 同様に,\ 全ての鈍角三角形を2回数えたことになるから,\ 最後に2で割る. 各頂点を${A_i}=i$とし,\ $1$が鈍角となる場合}を考える. { }$また,\ 他の2個の頂点をx,\ y}とする.$ {鈍角三角形となる条件を数式で表す}ことを考える. {A₁=1,\ A₂=2,のように考え,\ {鈍角を1に固定}する.} このとき,\ {残りの2つの頂点x,\ yが満たすべき条件が連立不等式で表される.} 鈍角三角形の個数は,\ この連立不等式を満たす(x,\ y)の組数に等しいわけである. \ 2 y-66も考慮すると1つの不等式にまとまる. 1対1に対応する. よって,\)の組数を求めればよく,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6の5個から2個選ぶ. 連立不等式が条件であるから,\ {領域を図示して考える}のも有効である(数II}). 整数の組(x,\ y)の組数は,\ 図形的には{領域内の格子点の個数}である(右図). 鈍角三角形は,\ 鈍角の特殊性に着目して考えることができた. しかし,\ 鋭角三角形は3つの角がいずれも鋭角で対等であるから考えにくい. {先に直角三角形と鈍角三角形を求め,\ 総数から除く}のが結局は楽である. 三角形の1個の頂点を${A₁}$とする. { }また,\ 次の頂点までの正12角形の辺の数を$x,\ y,\ z$とする. { }$x+y+z=12\ (1 x y z)\ を満たす(x,\ y,\ z)の組数を求める.}$ 回転して一致するものは勿論,\ 裏返して一致するものも互いに合同な三角形である. 三角形の合同条件の1つは,\ 3辺の長さが等しいことである. 本問では,\ 3辺の長さは頂点の間隔に対応する. つまり,\ {頂点の間隔が異なる三角形が何種類あるか}を考えればよいのである. これは,\ 一旦{数式にして考える}とわかりやすい. 要するに,\ x+y+z=12を満たす自然数解の組数を数えればよいわけである. ただし,\ (3,\ 4,\ 5)と並び替えた(4,\ 5,\ 3)や(3,\ 5,\ 4)などは互いに合同である. このような重複がないように,\ {x y z\ という条件を加えて書き出す.}
タイトルとURLをコピーしました