数字の順列(4桁の奇数・偶数・倍数の個数)

 「0を含む下2桁」→「0を含まない下2桁」

6個の数字0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5から異なる4個を選んで4桁の整数を作る.$ $このとき,\ 次の条件を満たす整数は何個できるか.$ 整数   奇数   偶数   3の倍数 6の倍数   4の倍数   4の倍数または5の倍数 3200より大きい整数 条件の強い位から順に処理していく.   $$最高位に0がくることは許されない.  \ 0234は3桁の整数.   $[3]$次の倍数条件を暗記しておく.\ 特に3と4の倍数条件が重要である.      3の倍数}:各位の数の和が3の倍数      4の倍数}:下2桁が4の倍数か00 (04,\ 08を忘れない!})      6の倍数}:2の倍数かつ3の倍数  (2と3は互いに素})      9の倍数}:各位の数の和が9の倍数 .3zw}(3の倍数条件と類似} 倍数条件の原理を4桁の整数の例で簡単に示しておく. 4桁の整数は,\ 1000a+100b+10c+d\ (a,\ b,\ c,\ dは1桁の整数)\ と表される. 3の倍数条件 1000a+100b+10c+d=(999a+a)+(99b+b)+(9c+c)+d {3の倍数条件 1000a+100b+10c+d}=3(333a+33b+3c)+a+b+c+d} 4の倍数条件 1000a+100b+10c+d=4(250a+25b)+10c+d} 9の倍数条件 1000a+100b+10c+d=(999a+a)+(99b+b)+(9c+c)+d {3の倍数条件 1000a+100b+10c+d}=9(111a+11b+c)+a+b+c+d} 3,\ 4,\ 9でくくったときに残る下線部が3,\ 4,\ 9の倍数ならばよいわけである. 合成数の倍数条件は,\ {「互いに素(共通の約数をもたない)な2数の倍数」}である. 23=6で,\ 2と3は互いに素であるから,\ 2と3の倍数が6の倍数条件である. 18の倍数条件は「2かつ9の倍数」となる.\ 3と6は互いに素ではないので駄目. {千の位は0以外の5通り}ある.$ { }$残りの位は,\ 5個から異なる3個の数字を選んで並べる順列}である. {千}\ {百}\ {十}\ {一}\ に{数を順に入れていくとき,\ 何通りの入れ方があるか}を考える. {最高位のみ0でないという条件つき}であるから,\ まず最高位を処理する. 最高位には,\ 0以外の5個の数字1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5のどれかを入れるから5通りある. 最高位に何を入れても,\ 残りの位は残った5個の数のうち3個を入れることになる. よって,\ 最高位の5通りのいずれに対しても,\ 残りの位の並べ方はP53通りある. ゆえに,\ {積の法則}を適用して求める. P53\ を無理に使う必要はなく,\ 1つずつ順番に入れていくのもよい. {千}\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5(0以外の数字)のどれでも入れることができる.\ 5通り. {百}\ 千の位で使った数字を除く5個の数字のうちどれかを入れる.\ 5通り. {十}\ 千と百の位で使った数字を除く4個の数字のうちどれかを入れる.\ 4通り {一}\ 千と百と十の位で使った数字を除く3個の数字のうちどれかを入れる.\ 3通り. 「何を入れたか」と「何通りあるか」を混同している人が意外に多い. 例えば,\ 「千の位が2である整数の個数を求めよ」という問題があったとする. そのとき, などと書いて考え,\ 2P53\ としてしまう(誤り). 千の位は2の1通りであるから,\ 正しくは\ 1P53\ である. 書き方は各自の自由だが,\ {「入れた数字」と「何通りか」をきちんと区別しよう.}  $一の位は1,\ 3,\ 5の3通り}である.$ { }$千の位は,\ 0と一の位の数を除く4通り}がある.$ { }$残りの位は,\ 4個から異なる2個を選んで並べる順列}である.$ {一の位が1,\ 3,\ 5,\ 最高位が0以外}という2つの条件がある. 3通りに限られる一の位の条件の方が強いので,\ {「一\ →\ 千\ →\ 他」}の順で処理する. 一の位で1,\ 3,\ 5のうち1個を使うから,\ 千の位はその数と0以外の4個が使える. 1つずつ順番に入れていくと次のようになる. {一}\ 1,\ 3,\ 5のどれかを入れる.\ 3通り. {千}\ 0と一の位で使った数字を除く4個の数字のうちどれかを入れる.\ 4通り. {百}\ 一と千の位で使った数字を除く4個の数字のうちどれかを入れる.\ 4通り. {十}\ 一と千と百の位で使った数字を除く3個の数字のうちどれかを入れる.\ 3通り 一の位が0}のとき,\ 残りの位は5個から異なる3個を選んで並べる. { }$一の位が2,\ 4}のとき,\ \千の位は0と一の位の数を除く4通り}がある.$ { }$残りの位は,\ 4個から異なる2個を選んで並べる.} {一の位は0,\ 2,\ 4,\ 千の位は0以外}という2つの条件がある. 一の位と千の位の0に関する条件が互いに影響し合うため,\ 単純にはいかない. このように特殊なことが起こる場合は,\ とにかく{場合分け}して考える. 一の位が0の場合と2,\ 4の場合に分ける.\ この2つの場合は互いに{排反}である. 一の位が0と決まれば,\ 千の位に0が並ぶ可能性を考慮する必要はなくなる. よって,\ 千・百・十の位には,\ 0以外の5個の数字を並べればよい. 一の位は0の1通りであるから,\ 1\ である.\ 一の位が2か4のとき,\ 千の位に0が並ばないように注意して並べることになる. 先に千の位に0と一の位以外の数を並べ,\ 残りの4個の数字で百と十の位を並べる. 一の位は2か4の2通りがあるから,\ 2\ である. 3の倍数条件は,\ 各位の数の和が3の倍数}になることである.$ { }$和が3の倍数になる4つの数の組は まず,\ 和が3の倍数になる数の組をすべて書き出す. 並びは後回しにして,\ {先に組合せを考える}のである. 6個から4個の数字を選ぶときの組合せは,\ C64=15通りある. 15通りを見落としがないように順序立てて調べる. 和が6になる組が1通り,\ 9になる組が2通り,\ 12になる組が2通り見つかる. 各組の数字を並べたときの整数の個数をそれぞれ求める. (0,\ 1,\ 2,\ 3)は,\ 千の位が0以外の3通り,\ 後は残りの3数を全て並べる. 0を含む他の3つの組も同じ個数があることは計算しなくてもわかる. 0を含まない唯一の組(1,\ 2,\ 4,\ 5)は単なる4数の順列である. 各組は{排反}であるから最後に足す(和の法則). ただし,\ 同じ18個は,\ 18+18+18+18\ ではなく,\ 4で素早く求めればよい. 3の倍数となる各組の中で,\ さらに偶数となる整数の個数}を数える. 6の倍数条件は,\ {「2の倍数かつ3の倍数」}である. まず,\ より強い条件である3の倍数条件を考える.\ ここでは,\ を利用した. 3の倍数となる組が判明済みであり,\ さらにこれが偶数にもなればよい. よって,\ 各組から作られる偶数の個数をそれぞれ求めることになる. 個数は{「0の有無」と「0以外の偶数2,\ 4が何個あるか」}に依存し,\ 単純ではない. よって,\ 各組の偶数の個数を1つずつ地道に求めることにした. (0,\ 1,\ 2,\ 3)のとき,\ まず一の位が0か否かで場合分けを要する. 一の位が0のとき,\ 残りの位は1,\ 2,\ 3の並びになるから,\ 3!1\ 通りである. 一の位が0でないとき,\ 一の位は2の1通り,\ 千の位は0と2以外の2通りである. また,\ 残りの位は残った2個の数字を並べるから,\ 22!1\ 通りである. (0,\ 3,\ 4,\ 5)のときも同様であるので,\ 2\ でまとめて求めた. (0,\ 1,\ 3,\ 5)のとき,\ 一の位は0の1通り,\ 後は残りの3数を並べて,\ 3!1\ 通り. (0,\ 2,\ 3,\ 4)のときも,\ 一の位が0か否かで場合分けを要する. 一の位が0のとき,\ 残りの位は2,\ 3,\ 4の並びになるから,\ 3!1\ 通りである. 一の位は0でないならば,\ 2,\ 4の2通りで,\ 千の位は0と一の位の数以外の2通り. また,\ 残りの位は残った2個の数字を並べるから,\ 22!2\ 通りである. (1,\ 2,\ 4,\ 5)のとき,\ 一の位は2,\ 4の2通り,\ 後は残りの3数を並べて3!2\ 通り. ここでは簡潔に記述したが,\ 実際には式の意味をもっと説明しておいたほうがよい. 4の倍数になる2桁の数字を全て書き出す. 04,\ 08,と順に考え,\ 見落としがないように注意する. {上2桁が何通りあるかは,\ 下2桁で0を使用済みか否かに依存する.} よって,\ {下2桁に0を含むか否かで場合を分ける.} 下2桁に0を含むとき,\ 上2桁は残りの4個のうち2個を並べるからP42である. 0を含む下2桁は3通りあるから,\ 3として求める. 下2桁に0を含まないとき,\ 千の位は0と下2桁の数以外の3通りがある. 百の位は下2桁と千の位の数以外の3通りがあるから,\ 33通りとなる. 0を含む下2桁は4通りあるから,\ 4として求める. 4の倍数と5の倍数は排反ではない. よって,\ 各場合の数を足した後,\ 重複して数えた分を除く必要がある. {(4の倍数または5の倍数)=(4の倍数)+(5の倍数)-(4の倍数かつ5の倍数)} 4の倍数かつ5の倍数は,\ {4と5の最小公倍数20の倍数}である. 4の倍数の個数はで求めた. 5の倍数の個数は,\ 一の位が0か5かで場合分けして求める. 一の位が0のとき,\ 残りの位は1~5から3個選んで並べるから,\ P53\ 通りである. 一の位が5のとき,\ 千の位は0と5以外の4通り,\ 後は4個から2個選んで並べる. 20の倍数は,\ 下2桁が00,\ 20,\ 40,\ 60,\ 80だが,\ 本問で作れるのは2通りである. 上2桁は,\ 残りの4個から2個選んで並べればよい.\ 0は下2桁で使用済みである. 千の位が4か5であれば,\ 他の位が何であれ,\ 3200より大きくなる. しかし,\ 千の位が3のとき,\ 他の位次第で,\ 3200より小さくなる可能性もある. よって,\ 千の位が4,\ 5の場合と3の場合を分けて考えることになる. 千の位が4,\ 5の2通りのとき,\ 他の位は残りの5個から3個選んで並べればよい. 千の位が3のとき,\ 百の位が4か5であれば,\ 当然3200より大きくなる. また,\ 千の位で使用済みであるから,\ 百の位が3になることはない. 百の位が2のとき,\ 下2桁が00となる可能性はないから,\ 3200より大きくなる. 結局,\ 百の位は2,\ 4,\ 5の3通りがあり,\ 後は残りの4個から2個選んで並べる. 6個の数字0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5から異なる4個を選んでできるすべての$ 4桁の整数の和を求めよ. 4桁の整数abcdは,\ 1000a+100b+10c+d\ (a,\ b,\ c,\ d:1桁の整数)\ と表せる. 例えば,\ 1234=1000+200+30+4\ とできる. このことを利用し,\ {各位を別々に足す}のがポイントである. つまり,\ {すべての整数の1000aの部分だけをまとめて足す}のである. 同様に,\ 100b,\ 10c,\ dの部分をそれぞれまとめて足す. 最後に,\ それらをすべて足し合わせると,\ 求める和が得られる. 千の位aは1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5の5通りが考えられる. また,\ そのおのおのに対して,\ 下3桁はP53通りがある. つまり,\ {1***,\ 2***,\ 3***,\ 4***,\ 5***がそれぞれP53通り}ずつある. 次に,\ 百の位をすべて足すことを考える.\ bは0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5の6通りがある. ここで,\ {0となる数は和に影響しないから,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5の5通りを考えればよい. 百の位1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5のおのおのに対して,\ 他の位は\ 4P42\ 通りがある. 千の位は0と百の位の数以外の4通り,\ 下2桁は残り4個のうち2個を並べる. 下線部を考慮していなかった場合,\ 百の位が0か否かで場合分けする羽目になる. である. 十の位と一の位の和も百の位と同様して求められる.
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