サイコロの6面を異なる3色を使って以下のように塗り分ける方法は何通りあるか.
サイコロの向かい合う面の目の和は7であるとする.
(1)\ \ 使わない色があってもよい.
(2)\ \ 各色2面ずつ塗る.
(3)\ \ 各色2面ずつ塗る(特定の1色の面が向かい合う).
(4)\ \ 各色2面ずつ塗る(特定の1色の面が隣り合う).
(5)\ \ 各色2面ずつ塗る(同じ色の面がすべて向かい合う).
(6)\ \ 各色2面ずつ塗る(同じ色の面がすべて隣り合う). \\
立方体の色の塗り分け \\
立方体の塗り分けは頻出であるが,\ 以下の3つがどうなるかで様々な出題パターンがある.
「何面ずつ何色で塗るか」「各面が区別できるか」「隣り合う面を異なる色で塗るか」
すべてを取り上げるとキリがないので,\ 頻出のものや重要度が高いもののみ取り上げる.
(1)\ \ 1つの面につき3通りの塗り方がある}から $3^6}=729}\ (通り)$
(2)\ \ 1色につき2面を選べばよい}から
(3)\ \ 特定の1色の塗り方は,\ $サイコロの目が(1,\ 6),\ (2,\ 5),\ (3,\ 4)$の3通り}である.
\ \ 後は1色につき2面を選べばよいから $3×C42}=3×6=18\ (通り)}$
(4)\ \ (2),\ (3)より $90-18=72\ (通り)}$
(5)\ \ $(1,\ 6),\ (2,\ 5),\ (3,\ 4)$の3組に3色を対応させればよい}から $3!}=6\ (通り)}$
(6)\ \ 1色につき隣り合う2面を選べばよい}から $(C62-3)×(C42-2)}=48\ (通り)}$
(1)\ \ 「サイコロ」は,\ 単なる「立方体」とは異なり,\ 6つの面が区別できる扱い}となる.
\ \ 各面が区別できるならば,\ 回転して一致することはなく,\ もはや立体で考える必要はない.
\ \ 単に,\ \fbox{1}\ \fbox{2}\ \fbox{3}\ \fbox{4}\ \fbox{5}\ \fbox{6}\ を塗る(各正方形に色を対応させる)と考えればよいわけである.
\ \ 6つの\dot{異}\dot{な}\dot{る}正方形それぞれに重複を許して3色を対応させればよく,\ 重複順列}に帰着する.
(2)\ \ 各色に着目すると,\ 6つの\dot{異}\dot{な}\dot{る}正方形から2個ずつ選ぶことになるから,\ 組合せ}に帰着する.
\ \ あるいは,\ 同じものを含む順列}の扱いで求めることもできる.
\ \ 一旦,\ 6つの異なる正方形を異なる6色で塗ると考える(6!\,通り).
\ \ 実際には同じ色の正方形が2個ずつあるから,\ 重複度で割ると\,6!}{2!2!2!}=90\ (通り)\ となる.
(4)\ \ 立方体の2面を同じ色で塗るとき,\ 必ず向かい合うか隣り合うかのどちらかになる.}
\ \ よって,\ 全体から向かい合う場合を除けばよい(補集合の利用}).
(5)\ \ 3色のうち1色を(1,\ 6)に塗り(3通り),\ 残り2色のうち1色を(2,\ 5)に塗る(2通り).
\ \ (3,\ 4)の塗り方は1通りになるから,\ 総数は3･2･1=6通りである(順列}に帰着).
(6)\ \ (5)の補集合は「同じ色の面が少なくとも1つ隣り合う」なので,\ (2)-(5)では求まらない.
\ \ 結局,\ 直接的に求める方が手っ取り早い.\ ただし,\ やや難しい.\ \ 3色①,\ ②,\ ③で塗るとする.
\ \ ①の塗り方は,\ 2面の選び方の総数\,C62\,通りから(1,\ 6),\ (2,\ 5),\ (3,\ 4)の3通りを除く.}
\ \ 残り4面から2面を選ぶ選び方の総数は\,C42\,通りである.
\ \ ここで,\ 残り4面のうち向かい合う2面は1組だけである.
\ \ 実際,\ ①を下図のように塗ると,\ 残り4面のうち向かい合う2面は上面と底面のみである.
\ \ この向かい合う2面を②で塗る場合と③で塗る場合の2通りを除く.}
次のように立方体を塗り分ける方法は何通りあるか.\
回転させて一致する塗り方は同じ塗り方とみなす.
(1)\ \ 異なる6色をすべて使って塗り分ける.
(2)\ \ 異なる5色をすべて使って塗り分ける.
(3)\ \ 異なる4色をすべて使って塗り分ける(同じ色の面がすべて向かい合う).
(4)\ \ 異なる3色をすべて使って塗り分ける(同じ色の面がすべて向かい合う).
(5)\ \ 異なる2色をすべて使って塗り分ける. \\
(1)\ \ 底面の色を固定すると,\ 上面の塗り方は$C51=5$通り}ある.
側面の塗り方は,\ 異なる4色の円順列}である.
立方体は6面すべてが対等}である.
前項の正四面体の場合と同様,\ 1つの面を完全に固定すると残り5面の塗り方に帰着する.}
なぜそのようになるのかは前項で述べたとおりである.
(2)\ \ [1]\ \ 同じ色の2面が向かい合う}場合
上面と底面を同じ色で塗る}方法は $C51}=5$\ (通り)
側面の塗り方は,\ 異なる4色のじゅず順列}である.
[2]\ \ 同じ色の2面が隣り合う}場合
隣り合う2側面を同じ色で塗る}方法は $C51}=5\ (通り)$
上面と底面の塗り方}は $C42×1}=6\ (通り)$
残りの2面の塗り方は 2通り
よって $5×6×2=60\ (通り)$ \\[-10zh]
[1],\ [2]\,は互いに排反であるから 15+60=75\ (通り)}$}
サイコロのように簡単に総数は求まらない.\ 同じ色の2面が向かい合うか隣り合うかで場合分け}する.
同じ色の2面が向かい合うとき,\ まず5色から1色選び,\ 上面と底面を同じ色で塗る.
(1)とは異なり,\ 上面と底面が対等なので,\ 側面の塗り方はじゅず順列の扱いとなる.
同じ色の2面が隣り合うとき,\ まず5色から1色選び,\ 側面のうち隣り合う2面を同じ色で塗る.
各面の対等性を考えるとき,\ 頂点や辺をいくつ共有するかに着目する}とよいことが多い.
上面と底面はいずれも,\ 同じ色の2つの側面と2辺を共有しているので互いに対等である.
よって,\ 上面と底面の塗り方は,\ 4色から2色を選びさえすれば,\ その2色の塗り方は1通りである.
2色をそれぞれどっちに塗ったとしても,\ 上面と底面をひっくり返すと一致するからである.
上面と底面を異なる色で塗った後は,\ ひっくり返して一致する可能性を考慮する必要がなくなる.
よって,\ 残りの2つの側面を2色で塗る塗り方は2通りあるとわかる.
(3)\ \ 同じ色で3面を塗ると条件を満たさない.
2色を使って4つの側面を塗る}方法は $C 42×1}=6\ (通り)$
回転を考慮すると,\ 上面と底面の塗り方は1通り}である.
4色での塗り方は(①,\ ①,\ ①,\ ②,\ ③,\ ④)と(①,\ ①,\ ②,\ ②,\ ③,\ ④)の2パターンが考えられる.
しかし,\ 前者の組合せでは,\ 同じ色の面が向かい合うように塗ることができない.
側面の塗り方は,\ 4色から2色を選びさえすれば,\ その2色の塗り方は1通りである.
後は上面と底面だが,\ 2色をどっちに塗ったとしても,\ 上面と底面をひっくり返すと一致する.
(4)\ \ 3色それぞれを向かい合う2面に塗る}方法は 1通り} \\
(5)\ \ 2色①,\ ②で塗るとする.
[1]\ \ $(①,\ ②)=(6面,\ 0面),\ (0面,\ 6面)}$のとき 1通りずつあるので2通り
[2]\ \ $(①,\ ②)=(5面,\ 1面),\ (1面,\ 5面)}$のとき 1通りずつあるので2通り
[3]\ \ $(①,\ ②)=(4面,\ 2面)}$のとき ②の2面が向かい合うか隣り合うか}の2通り
[4]\ \ $(①,\ ②)=(3面,\ 3面)}$のとき ①の3面が1つの頂点を共有するか否か}の2通り
[5]\ \ $(①,\ ②)=(2面,\ 4面)}$のとき ①の2面が向かい合うか隣り合うか}の2通り
∴ [1]\,～\,[7]\,は互いに排反であるから 2+2+2+2+2=10\ (通り)
