座標平面上の図形を扱うことを想定し,\ ベクトルを$x成分とy成分}$で表す.
次のように,\ 座標A$(a_1,\ a_2)$と座標B$(b_1,\ b_2)$が与えられたとする.
AB}=(b_1-a_1,\ b_2-a_2)$
成分表示に関する注意点を2つ挙げる.
[1]\ \ 座標と成分の混同に注意する.}
\ A}(3,\ 2) & A}は,\ x座標3,\ y座標2の点である.
\ AB}=(3,\ 2) & AB}\ は,\ x成分3,\ y成分2のベクトルである.
$
[2]\ \ $AB}\ を成分で表示するとき,\ 座標B}から座標A}を引く
[1]\ \ AB}=(3,\ 2)は,\ 点 Aからx方向に3,\ y方向に2行くと点 Bに到達することを意味する.
[1]}\ \ このような点A,\ B}の組は座標平面上に無限にある.
[1]}\ \ 例えば,\ A(1,0)と B(4,\ 2)や A(-\,2,\ -\,5)と B(1,\ -\,3)などである.
[1]}\ \ A(3,\ 2)が座標平面上の決まった1点(3,\ 2)のみを表すこととの違いに注意してほしい.
[1]}\ \ ここで,\ 点 A(3,\ 2)に対して原点 O(0,\ 0)を始点としたベクトル\,OA}\,を考えてみよう.
[1]}\ \ OA}\,の成分は\ OA}=(3,\ 2)-(0,\ 0)=(3,\ 2)\ であり,\ 点 Aの座標(3,\ 2)と一致する.
[1]}\ \ この原点を始点にとると座標と成分が一致する}という事実は,\ 応用上極めて重要である.
[1]}\ \ 後に「点 Aの座標を求める」=「\,OA}\,の成分を求める」}を利用して図形問題を解くことになる.
[2]\ \ 座標 A(a_1,\ a_2),\ B(b_1,\ b_2)に対して原点O}を始点とすると OA}=(a_1,\ a_2),\ \ OB}=(b_1,\ b_2)
[1]}\ \ ここで,\ ベクトルの始点を変更するとき,\ 矢印の矢先から尾を引くのであった.
[1]}\ \ よって,\ AB}=OB}-OA}=(b_1,\ b_2)-(a_1-a_2)=(b_1-a_1,\ b_2-a_2)\ である.
ベクトル\ $AB}=(b_1-a_1,\ b_2-a_2)}$\ の大きさ
ti{AB=√(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2$}
$AB$の大きさは図形的には線分ABの長さなので,\ 単なる三平方の定理である.
大きさは絶対値記号で表すが,\ 負を正にする絶対値とは別物と考えておく.
次のように,\ 座標A$(a_1,\ a_2)$と座標B$(b_1,\ b_2)$が与えられたとする.
AB}=(b_1-a_1,\ b_2-a_2)$
成分表示に関する注意点を2つ挙げる.
[1]\ \ 座標と成分の混同に注意する.}
\ A}(3,\ 2) & A}は,\ x座標3,\ y座標2の点である.
\ AB}=(3,\ 2) & AB}\ は,\ x成分3,\ y成分2のベクトルである.
$
[2]\ \ $AB}\ を成分で表示するとき,\ 座標B}から座標A}を引く
[1]\ \ AB}=(3,\ 2)は,\ 点 Aからx方向に3,\ y方向に2行くと点 Bに到達することを意味する.
[1]}\ \ このような点A,\ B}の組は座標平面上に無限にある.
[1]}\ \ 例えば,\ A(1,0)と B(4,\ 2)や A(-\,2,\ -\,5)と B(1,\ -\,3)などである.
[1]}\ \ A(3,\ 2)が座標平面上の決まった1点(3,\ 2)のみを表すこととの違いに注意してほしい.
[1]}\ \ ここで,\ 点 A(3,\ 2)に対して原点 O(0,\ 0)を始点としたベクトル\,OA}\,を考えてみよう.
[1]}\ \ OA}\,の成分は\ OA}=(3,\ 2)-(0,\ 0)=(3,\ 2)\ であり,\ 点 Aの座標(3,\ 2)と一致する.
[1]}\ \ この原点を始点にとると座標と成分が一致する}という事実は,\ 応用上極めて重要である.
[1]}\ \ 後に「点 Aの座標を求める」=「\,OA}\,の成分を求める」}を利用して図形問題を解くことになる.
[2]\ \ 座標 A(a_1,\ a_2),\ B(b_1,\ b_2)に対して原点O}を始点とすると OA}=(a_1,\ a_2),\ \ OB}=(b_1,\ b_2)
[1]}\ \ ここで,\ ベクトルの始点を変更するとき,\ 矢印の矢先から尾を引くのであった.
[1]}\ \ よって,\ AB}=OB}-OA}=(b_1,\ b_2)-(a_1-a_2)=(b_1-a_1,\ b_2-a_2)\ である.
ベクトル\ $AB}=(b_1-a_1,\ b_2-a_2)}$\ の大きさ
ti{AB=√(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2$}
$AB$の大きさは図形的には線分ABの長さなので,\ 単なる三平方の定理である.
大きさは絶対値記号で表すが,\ 負を正にする絶対値とは別物と考えておく.
成分によるベクトルの演算
$x成分}とy成分}をそれぞれ計算する.}$ \\[.
成分を縦に表記するとわかりやすい(成分が4個,\ 5個になる大学ではこれが普通).
a=(2,\ 3),\ b=(-\,4,\ 2)$のとき,\ ベクトル$2a-b$を成分で表し,\ 大きさを求めよ.
さらに,\ $2a-b$と平行な単位ベクトル$e$を求めよ.
2a-b\,の成分は,\ x成分とy成分を別々に計算するだけである.
大きさは\ √8^2+4^2}=√80}=4√5\ と計算してもよいが,\ うまくない.
今後z成分も考慮したり,\ 数値が大きくなったりした場合,\ 計算が一気に面倒になる.
2a-b=(8,\ 4)=4(2,\ 1)と考えると,\ 実質的に\ √2^2+1^2}=√5\ だけの計算で済む.
大きさが1のベクトル}が単位ベクトルなので,\ a\,の単位ベクトルは となるのであった.
例えば,\ a\,の大きさ{a}=2ならば,\ a}{2}\,として大きさが1のベクトルを作ることができる.
ただし,\ a\ の単位ベクトルには,\ 同じ向きのもの\,a}{{a\,と逆向きのもの\,-a}{{a\,が存在する.
「同じ向き」「逆向き」ならば一方のみ,\ 「平行な」ならば両方を答える.
