重複組合せの基本 、展開式の項の種類

赤玉,\ 青玉,\ 黒玉から重複を許して5個の玉を取り出す組合せは何通りあるか. ただし,\ どの色の玉も5個以上あり,\ 1個も取り出されない色の玉があってもよいとする. \\ {重複組合せ \\ 　　本問は,\ 異なる3種類のものから, 重複を許して} 5個取る組合せの総数である. 　　この重複組合せは,\ 以下のような考え方により,\ 同じものを含む順列に帰着する. {2本の仕切り$|$によって3つの区画に分け,\ 5個の○を入れる. 　　そして,\ その意味を右のようにとらえる. 5個の○}と2本の$|$}の並びは,\ 各玉の個数の組合せと1対1で対応する. 　　求める組合せの総数は,\ 5個の○と2本の$|$の合計7つのものの順列の総数}に等しい. 場合の数分野では,\ 総数さえ求めることができれば,\ その考え方は自由である. ならば,\ 1対1で対応するより単純化した事柄で総数を求めればよい. 重複組合せでは,\ ○と|の並びに対応させることが有効である. 結局,\ 同じものを含む順列の総数}に帰着するわけである. 同じものがそれぞれp個,\ q個,\ r個ずつ,\ 合計n個あるとき,\ 順列の総数は\,n!}{p! q! r!}\,であった. 階乗の分数で求めても全く問題ないが,\ 重複組合せの基本公式は\,C nr\,を用いて表すのが普通である. 本問の場合,\ 7ヶ所\ □□□□□□□\ に5個の○と2本の|を入れると考えればよい. 5個の○の位置を選べば,\ 2本の|の位置は自動的に決まるから,\ その入れ方は\,C75\ 通りである. 一般化すると,\ 異なるn種類のものから重複を許してr個取る組合せの総数の公式}が得られる. r個の○とn-1本の|の合計r+n-1個のものの順列の総数に等しい}から　C{r+n-1}{r}\ (通り)} ○と|の並びという意味合いが重要だが,\ 実際の問題では○と|で考えると複雑になる場合もある. よって,\ 意味合いを理解した上で,\ C{r+n-1}{r}\,を重複組合せの公式として覚えておくことを推奨する. 重複組合せは本来は\,\Kumiawase{n}{r}\,と表すが,\ 高校数学では結局は\,C{r+n-1}{r}\,で計算するので知らなくてもよい. C nr\,はn≧ rであったが,\ \Kumiawase nr\,はもよいことに注意する.\ 実際,\ 本問は\,\Kumiawase35\,である. さて,\ 最短経路の総数も同じものを含む順列の総数と1対1で対応するのであった. ということは,\ 重複組合せの総数と最短経路の総数も1対1で対応する}ことになる. 実際,\ 本問の場合は以下のように対応する. \\[-1zh] よって,\ 重複組合せの総数を最短経路の総数として求めることもできるわけである. 場合の数分野では,\ 同じ\,C75\,でも様々に意味づけできる.\ 例えば,\ 以下の4つは本質的に同じである. 　・異なる7個のものから5個を選ぶ 　・異なる3種類のものから重複を許して5個を選ぶ 　・5個の○と2本の|を並べる 　・横5区画,\ 縦2区画の最短経路 \ 0から9の10種類の数字から重複を許して4個を選ぶ組合せは何通りあるか. (2)\ \ $(x+y+z)^7$の展開式の項は何種類か. \\ (1)\ \ 重複組合せを○と|に対応させるとき,\ どちらが○でどちらが|なのかが混乱しやすい. \ \ 上の問題はの場合であったから,\ 直感的にわかりやすかった. \ \ 一方,\ 本質的に同じでもn>rの場合は○よりも|の数が多くなり,\ 直感的にわかりづらくなる. \ \ 本問の場合,\ 4個の○と9本の|の順列に対応する.\ \ \ 例えば,\ |○||○||||○○||\ が(1,\ 3,\ 7,\ 7)と対応するわけだが,\ すんなり理解できるだろうか. \ \ 0|①|2|③|4|5|6|⑦⑦|8|9\ ということである. \ \ こんなとき,\ 重複組合せの公式\,\Kumiawase nr=C{r+n-1}{r}\,を覚えていると,\ 当てはめるだけで済む. (2)\ \ 1次式x+y+zの7乗の展開式の全ての項の次数は7次}になる.\ \ \rei\ \ x^7,\ x^6z,\ x^5yz,\ x^3y^2z^2 \ \ つまり,\ 3種類の文字x,\ y,\ zから重複を許して7個選んで掛けたもの}である. \ \ ○と|の並びとの対応は,\ 例えば\ ○○○○|○|○○\ ならばx^4yz^2\,と対応する.