calculusの8文字をすべて並べてできる文字列について,\ 次の問いに答えよ.
(1)\ \ 3つの母音a,\ u,\ uがこの順に並ぶものは何通りあるか.
(2)\ \ どのcも,\ どのlより左側にあるものは何通りあるか. \\
一部の順序が指定された順列 \\
まず,\ 題意を正しく把握しなければならない.
aが2つのuより左側にありさえすればよく,\ a,\ u,\ uが隣接している必要はない.}
このように,\ 問題で一部だけ順序が指定されている場合がある.
このとき,\ 順序が指定されているものを同じものとみなして並べる.
すると,\ 同じものを含む順列の問題に帰着する.
(1)\ \ a,\ u,\ uを○とした\ 8文字○,\ ○,\ ○,\ c,\ c,\ l,\ l,\ sの順列の総数に等しい.}
(2)\ \ c,\ c,\ l,\ lを○とした\ 8文字○,\ ○,\ ○,\ ○,\ u,\ u,\ a,\ sの順列の総数に等しい.}
解法の丸暗記ではなく,\ なぜ○とおくとうまくいくかを理解しておかなければ応用が利かない.
a,\ u,\ u}の3文字に関しては,\ すでに順序が確定している(a\,→\,u\,→\,u}の1通り).
「順序が確定」は,\ 「その部分の並べ方を考慮する必要がない」}を意味する.
もっと強く言えば,\ 「その部分の並べ方を考慮してはいけない」}ということである.
まず,\ 8文字をすべて区別できる( a,\ c_1,\ c_2,\ l_1,\ l_2,\ s,\ u_1,\ u_2)とすると,\ その並べ方は 8!\ (通り)
この8!\,通りの中には,\ a},\ u_1,\ u_2\,の並べ方3!\,通りを掛けた分も当然含まれている.
しかし,\ 実際にはa},\ u_1,\ u_2\,の3文字を並び替えてはいけない.
よって,\ 3文字分の並び方3!\,で割る}必要がある.
これは,\ 「同じものを含む順列」において3つのものが区別できない場合の扱いに等しい.}
それゆえ,\ a,\ u_1,\ u_2\,を同じものとみなした順列の総数を求めればよいわけである.
(2)も問題の表現は違えど,\ 要するに一部の順序が指定されているということなので同じ問題である.
