同じものがそれぞれp個,\ q個,\ r個ずつ,\ 全部でn個ある.$
$このn個のものをすべて並べる順列の総数は
簡単な例として,\ A}\ 2個とB}\ 3個の並び方が何通りあるかを考える.
これは,\ \fbox{1}\ \fbox{2}\ \fbox{3}\ \fbox{4}\ \fbox{5}\ からA}が入る2ヶ所の選び方が何通りあるか}に等しい.
Aが入る2ヶ所さえ決まれば Bが入る3ヶ所が自動的に決まり,\ 5文字の並び方が決まるからである.
並べるとはいっても区別できないものはそもそも並びが関係ないから,\ 選ぶだけで済む}わけである.
この組合せによる考え方は,\ ものの種類が増えると面倒になる.
そこで有効なのが階乗の形}である.\ \ と表せるのであった.
A\ 2個と B\ 3個を並べる順列の総数\,5!}{2!3!}\,に対して,\ 以下のような意味付けが可能である.
まず,\ 5個の文字がすべて区別できるものとして並べる.}\ その順列の総数が5!\ 通り}ある.
つまり,\ A}_1,\ A}_2,\ B}_1,\ B}_2,\ B}_3\ と考えて並べたことになる.
ここで,\ A}_1,\ A}_2\ の並び方は\ 2!\,通り,\ B}_1,\ B}_2,\ B}_3\ の並び方は\ 3!\ 通りある.
よって,\ 区別できるものとした場合の5!\,は,\ 2!\ と\ 3!\ 通りの並び方を余分に数えていることになる.
そこで,\ 5!\ を\ 2!\ と\ 3!\ で割ってA}_1,\ A}_2\ と\ B}_1,\ B}_2,\ B}_3\,の区別をなくす}と求める総数となる.
このように階乗の形の意味を考えると,\ ものの種類が増えても容易に拡張できる.
一旦すべて区別できるものとして並べ,\ 区別できないものはその並び方で割ればよい}のである.
白球4個,\ 赤球3個,\ 黒球2個,\ 青球1個の並べ方は何通りあるか.$
$ただし,\ 同じ色の球は区別しないものとする.$ \\
10個の球がすべて区別できるとすると,\ その並び方は10!\,通りである.
実際には白球4個,\ 赤球3個,\ 黒球2個が区別できないから,\ それぞれの並び方4!,\ 3!,\ 2!\,で割る.
参考までに,\ 組合せで考える別解も示しておいた.
青球から個数が少ない順に入れていく}と計算が楽になる.
青球の入れ方は10通り,\ 黒球は残りの9ヶ所から2ヶ所を選ぶので\,C92\,通りの入れ方がある.
残り7ヶ所から3ヶ所選んで赤球を入れると(\,C73\,通り),\ 白球が入る4ヶ所も決まる(1通り).
ちなみに,\ 白球から個数が多い順に入れていくと以下を計算する羽目になる.
7文字のアルファベット\,A,\ A,\ A,\ B,\ C,\ D,\ E\,から5文字を取り出して並べる方法は
何通りあるか. \\
{Aが1個含まれる}とき,\ 異なる5文字の並べ方は $5!}=120\ (通り)$
Aが2個含まれる}とき,\ 残り3文字の選び方は $C43}=4\ (通り)$
(ii)}\ \ この5文字の並べ方は\ (通り)$ (通り)${Aが3個含まれる}とき,\ 残り2文字の選び方は は互いに排反であるから} 120+240+120}=480\ (通り)}$}
すべて並べる場合は公式で瞬殺できるが,\ 一部を取り出して並べる場合は単純ではなくなる.
同じものを何個ずつ選ぶかによって何通りの並べ方があるかが変わる}からである.
結局,\ 場合分けして考えることになる.
本問の場合,\ 同じものが複数個あるのはA}のみなので,\ Aの個数で場合分けする}と排反}になる.
また,\ 並べるのだが選び方に条件がある場合,\ 選ぶことと並べることを別々に考える}のであった.
つまり,\ まず条件を満たすように選び,\ その後に並びを考慮する.}
5文字を取り出すから,\ Aは少なくとも1個取り出される.
A}が1個取り出されるとき,\ 異なる5文字A,\ B,\ C,\ D,\ E}の順列である.
A}が2個取り出されるとき,\ A}以外の3文字を4文字B,\ C,\ D,\ E}の中から選ぶことになる.
その後,\ A}\,2個を含む5文字(A,\ A,\ ○,\ △,\ □})の並べ方を考える.
A}が3個取り出されるとき,\ A}以外の2文字を4文字B,\ C,\ D,\ E}の中から選ぶことになる.
その後,\ A}\,3個を含む5文字(A,\ A,\ A,\ ○,\ △})の並べ方を考える.
9文字のアルファベットA,\ A,\ A,\ A,\ B,\ B,\ B,\ C,\ Cがある.
(1)\ \ 4文字を取り出して並べる方法は何通りあるか.
(2)\ \ AABCCとCCBAAのように,\ 反転させると一致するものを同じ文字列とみなす.
\ \ このとき,\ 9文字すべて並べる方法は何通りあるか. \\
4個が同じ文字}のとき AAAAの1通り}. {3個が同じ文字}のとき 3個になるのはAかBの2通り}.
(ii)}\ \ そのおのおのに対して,\ 残りの1個は2通り}. \\この4文字の並べ方は 同じ文字2個の組が2組}のとき $2文字の選び方は 同じ文字2個の組が1組}のとき 2個の組となる1文字の選び方は\ \ $3通り}.$ 残り2文字の選び方は 1通り.
同じ文字を何個ずつ含むかで何通りの並べ方があるかが変わるから場合分けをする.
4文字の選び方には,\ ○○○○,\ ○○○△,\ ○○△△,\ ○○△□\ }の4種のパターンがありうる.
まず各文字パターンになるように選び,\ その後に並びを考慮する.}
○○○△の○になりうるのは,\ AかB}の2通りである.\ C}は2文字しかない.
○がAとB}のどちらであったとしても,\ △は残り2文字から一方を選ぶから選び方は2通りである.
4通りしかないので,\ すべて書き出すのもよい.\ \ AAAB,\ AAAC,\ BBBA,\ BBBC}\ である.
この4通りの組合せのいずれに対しても,\ その並べ方は4通りである.
○○△△の○と△は,\ 3種類の文字A,\ B,\ C}から2つを選べばよい.
3通りの組合せを全て書き出すと,\ AABB,\ BBCC,\ CCAA}\ となる.
この3通りの組合せのいずれに対しても,\ その並べ方は6通りである.
○○△□は,\ まず○に入る文字を決める.\ ○だけが2個あり,\ 特殊だからである.
A,\ B,\ C}いずれも○に入りうるから,\ 3通りがある.
○が決まった時点で,\ △と□は残りの2種類の文字であることが確定する(1通り).
3通りの組合せをすべて書き出すと,\ AABC,\ BBAC,\ CCAB}\ となる.
この3通りの組合のいずれに対しても,\ その並べ方は12通りである.
左右対称の文字列の総数は,\ A\,2個,\ B\,1個,\ C\,1個を並べる文字列の総数に等しい.}
単純に総数を2で割っても求まらないことに注意しなければならない.
AABCBCBAA}のように左右対称の文字列には反転ペアが存在しない}からである.
よって,\ まず左右対称の文字列の総数を求めることになる.
9文字(奇数個)であるから,\ ちょうど中央にくる文字が存在し,\ それは奇数個ある Bである.
残りはA\,4文字,\ B\,2文字,\ C\,2文字}なので,\ 左側に並ぶのはA\,2文字,\ B\,1文字,\ C\,1文字}である.
右側の並びは自動的に決まる(1通りになる)から,\ 左側の4文字の並べ方の総数を求めればよい.
左右対称の文字列が6通りなので,\ 左右対称でない文字列は1260-6=1254通りである.
左右対称でない文字列には反転ペアが存在するから,\ 重複をなくすために2で割る.
これに左右対称の文字列6通りを改めて足せばよい. (左右対称でない)}{2}+(左右対称)}
4桁の自然数のうち,\ 同じ数字をちょうど3個含むものの個数を求めよ.
(2)\ \ 4桁の自然数のうち,\ ちょうど2種類の数字からなるものの個数を求めよ. \\
0を含まない}とき 2種類の数字A,\ Bの選び方は $C92=36\ (通り)$
{0を含む}とき 残りの1種類の数字Cの選び方は 9通り
は排反であるから,\ 求める場合の数は 288+36=324\ (個)}$}
1113のように同じ数字をちょうど3個含むとき,\ 2種類の数字からなる}ことがポイントになる.
よって,\ まず2種類の数字を選び,\ その後に並びを考慮すればよい.
整数の個数は0を含むか否かも並びに影響する}ので,\ 場合分けが必要になる.
[1]\ \ 2種類の数字を1\,～\,9から選んだ後,\ 同じ数字をちょうど3個含むように並べる.
\ \ 仮に1と3を選んだとすると,\ (1,\ 1,\ 1,\ 3)または(1,\ 3,\ 3,\ 3)の組合せを並べることになる.
[2]\ \ 残り1種類の数字を1\,～\,9から選んだ後,\ 0が最高位に来ないように並べる.
\ \ 計算で求めるよりもしらみつぶしした方が早いだろう.
\ \ 0が1個の場合はC0CC,\ CC0C,\ CCC0の3通り,\ 0が3個の場合はC000}の1通りである.同じ数字をちょうど3個含む4桁の自然数の個数}は,\ (1)より 324}\ (個)
同じ数字をちょうど2個ずつ含むものを求める.
[1]\ \ 0を含まない}とき 2種類の数字A,\ Bの選び方は 残りの1種類の数字Cの選び方は 9通り
(1)\ \ [1]\ \ }0を含まないとき }\ (C,\ C,\ 0,\ 0)}の並べ方は $3\ (通り)$
同じ数字をちょうど2個ずつ含む4桁の自然数の個数}は {0を含まない}とき 2種類の数字の選び方は $C92=36\ 2種類の数字をいずれも含む}並べ方は $2^4-2}=14\ (通り)$
0を含む}とき 残りの1種類の数字の選び方は 9通り 2種類の数字をいずれも含む}並べ方は
(1)を利用し,\ 同じ数字が何個あるかで場合分け}したのが本解である.
2種類の数字からなる数には,\ 1212のように同じ数字を2個ずつ含むものもある.
(1)と同様に,\ 0を含むか否かで場合分けして求めればよい.
(C,\ C,\ 0,\ 0)の並びは,\ CC00,\ C0C0,\ C00C}の3通りである.
最高位が Cで確定なので,\ もう1個の Cが百,\ 十,\ 一の位のどこにくるかで3通りあるわけである.
実は,\ 重複順列}の考え方を用いると,\ (1)を利用せずとも求められる(別解).
まずは0を含まない場合である.
2種類の数字A,\,B}を選んだ後,\ A,\,Bから重複を許して4個とって並べてできる整数の個数}を求める.
各位に対してAかBか}の2通りがあるから,\ 2^4}=16個の整数ができるとわかる.
ABAAやABBAなど,\ A,\ B}の少なくとも一方を並べてできる整数の個数が求まるわけである.
ただし,\ 2種類の数字という条件を満たさないAAAA,\ BBBBの2通りも含まれるので,\ 除く.}
0を含むとき,\ Cと0から重複を許して4個とって並べてできる4桁の整数の個数}を求める.
最高位は C\ (1通り)で,\ 残りの位はCか0か}の2通りがあるから,\ 2^3}=8個の整数ができる.
ただし,\ 2種類の数字という条件を満たさないCCCCの1通りも含まれるので,\ 除く.}
