○と●を重複を許して合計7個並べるとき,\ 次の条件を満たす順列は何通りあるか.
(1)\ \ ○が3個以上連続して並ぶ部分がある.
(2)\ \ ○が3個連続して並ぶ部分があるが,\ 4個連続して並ぶ部分はない.
(3)\ \ ○が2個連続して並ぶ部分があるが,\ 3個連続して並ぶ部分はない.
(4)\ \ ○が2個以上連続して並ぶ部分がない. \\
連続条件のある重複順列 \.{最}\.{初}\.{の}連続がどこから始まるかを基準にすると排反な場合分けになる.○でも●でもよいことを＊で表す.}\ ただし,\ 下線部には特定の制約がつく.}
(1)\ \ 左から見て,\ \.{最}\.{初}\.{の}3個以上の連続がどこから始まるか}で場合分けする. \
最初の連続がどこから始まるかで場合分けする}のが標準解法である.\ 初見では到底気付かない.
何個連続するかで場合分けする必要はなく,\ 3個以上連続する順列をまとめて求めることができる.
排反な場合分けが可能なのでリスクが低く,\ 自然な思考が可能になる優れた解法である.
全体から「\,2個のみ連続」と「連続しない」を除くことを思いつく人もいるだろう(補集合の利用).
しかし,\ 連続個数が少ないほどパターンが増えて求めづらくなるので,\ 余計面倒である. →\ (3),\ (4)
[1]\ \ 最初の3個以上の連続が1個目から始まるとき,\ 4個目からは○でも●でも構わない.
\ \ 1つの＊につき○か●かの2通りがある}から,\ 2^4=16\ (通り)である.
[5]\ \ 考えるのは,\ あくまでも最初の3個以上の連続が5個目から始まる場合}であることに注意する.
\ \ つまり,\ 便宜上\ ＊＊＊●○○○\ としているが,\ ＊＊＊\ が\ ○○○\ ではないという制約がつく.}
\ \ ○○○●○○○\ のとき,\ 最初の3個以上の連続が1個目から始まる扱いとなるからである.
\ \ よって,\ この場合(1通り)を除く必要がある.
\ \ 単純に\ ＊＊＊●○○○\ の場合を考えてしまうと排反な場合分けにならないのである.
\ \ 優れた解法ではあるが,\ ノーリスクではない}ことを肝に銘じておいてほしい.
2個のみのようにちょっとだけ連続する場合が最も複雑性が高く,\ 求めづらい.
標準解法を知っていたとしても,\ 正しい答えに至るのは容易ではない.
[1]\ \ ＊＊＊＊}\,に3個以上の○が並んではいけない.
\ \ ○○○○,\ ○○○●,\ ●○○○\,の3通りを除く.
[2]\ \ ＊＊＊}\,が\,○○○\,となる1通りを除く.
[4]\ \ ＊＊}\,が\,○○\,となる2通りを除く.\ \ 1通りではない！}
\ \ 右端の\,＊\,が○か●かで2通りある.
[5]\ \ ＊＊＊}\,に2個以上の○が並んではいけない.
\ \ ○○○,\ ○○●,\ ●○○\,の3通りを除く.
[6]\ \ ＊＊＊＊}\,に2個以上の○が並んではいけない.\ 以下の8通りを除く.
\ \ ○が4個並ぶ場合 ○○○○
\ \ ○が3個並ぶ場合 ○○○●,\ ●○○○
\ \ ○が2個並ぶ場合 ○○●○,\ ○○●●,\ ●○○●,\ ○●○○,\ ●●○○
{○が4個}のとき ○●○●○●○\ の1通り. ○が3個}のとき ●4個の両端または間の5ヶ所への入れ方は ○が2個}のとき ●5個の両端または間の6ヶ所への入れ方は {○が1個}のとき ●6個の両端または間の7ヶ所への入れ方は ○が0個}のとき ●●●●●●●\ の1通り.
連続しない場合については,\ 隣接しない順列と同様の発想が通用する}ので容易である.
隣接しないものは,\ それら以外のものを並べた後,\ 両端または間に入れればよい}のであった.
○は最大でも4個である.\ ○が0個の場合を忘れないように注意する.
[2]\ \ まず,\ ●4個を並べる.\ といっても,\ 4個の●は区別できないから,\ その並べ方は1通りである.
\ \ 後は,\ _\land\ ●\ _\land\ ●\ _\land\ ●\ _\land\ ●\ _\land}\ \ の5ヶ所の\ _\land\ から3ヶ所選んで○を入れればよい.
\ \ 3個の○は区別できないから,\ 選ぶだけで並べたことになる.
