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平面上の$\triangle$ABCに対し,\ 動点Pが$\bekutoru{PA}\cdot\bekutoru{PB}=2\bekutoru{PA}\cdot\bekutoru{PC}$を満たすとき,\ 点Pが描く \\[.2zh] \hspace{.5zw}軌跡を求めよ. \\
ベクトル方程式が表す点Pの軌跡(後編)点Pは,\ 点Aと辺BCを2:1に外分する点を直径とする円を描く.}}$
基本方針については前編で説明したので,\ 後編では簡単な解説に留める. \\[.2zh] 両辺に同じ\,\bekutoru{PA}\,があるので,\ 因数分解により内積0,\ つまり\ \bm{(\bekutoru*p-\bekutoru*a)\cdot(\bekutoru*p-\bekutoru*b)=0}\ の形を目指す. \\[.2zh] この式は,\ 始点を\text Oとしたときの\textbf{A(\bekutoru*a)とB(\bekutoru*b)を直径とする円を表す}のであった. \\[.2zh] 本解のように\text Aを始点とした場合,\ \mathRM{P(\bekutoru*p),\ A(\bekutoru*0),\ B(\bekutoru*b),\ C(\bekutoru*c)}\,となることに注意する. \\[.2zh] つまり,\ \bekutoru*0=\bekutoru{AA}\,ということであるから,\ 直径の一端は点\text Aである. \\[.2zh] -\,\bekutoru*b+2\bekutoru*c=\bunsuu{-\,\bekutoru*b+2\bekutoru*c}{2-1}\,とみなせるから,\ 直径のもう一端は辺\mathRM{BC}を2:1に外分する点である. \\[.8zh] \bm{ベクトルの和・差の図形的意味は,\,無理矢理分点の位置ベクトルの公式の形にするとわかる}のである. \\[1zh] 座標平面の問題として解くこともできるが,\ 式から図形的意味を読み取ることが難しくなる(別解). \\[.2zh] やはりベクトルのまま扱うのが本質的ということであるが,\ 一応示しておいた. \\[.2zh] なお,\ 内積の計算は,\ \bekutoru*a\cdot\bekutoru*b=(a_1,\ a_2)\cdot(b_1,\ b_2)=a_1b_1+a_2b_2\,であった. \\[.2zh] 中心の座標は,\ \left(\bunsuu{-\,b+2c}{2},\ d\right)=\bunsuu12\underline{\left(\bunsuu{-\,b+2c}{2-1},\ \bunsuu{-\,1\cdot0+2d}{2-1}\right)}と変形できる. \\[1zh] 下線部は,\ 2点\mathRM{B(b,\ 0),\ C(c,\ d)}を2:1に外分する点(\text Dとおく)の座標である. \\[.2zh] その\,\bunsuu12\,であるから,\ 円の中心の座標は,\ 原点\text Aと\text Dの中点である. \\[.6zh] また,\ \maru{\text A}は(x,\ y)=(0,\ 0)のとき成り立つから原点\text Aを通る. \\[.2zh] 以上から,\ 軌跡は\text{AD}を直径とする円となる.
面上の異なる2点A,\ Bに対し,\ 動点Pが$\zettaiti{\bekutoru{AP}}=2\zettaiti{\bekutoru{BP}}$を満たすとき,\ 点Pが描く軌跡を求めよ.
\bm{ベクトルの大きさは2乗して扱う}のが基本であった. \\[.2zh] 展開して整理した後因数分解すると,\ 直径の両端がわかる. \\[.2zh] 軌跡は大体円だろうと予想していれば,\ 因数分解できるはずという予想もたつ. \\[1zh] 本問は座標平面の問題として解くことも難しくない. \\[.2zh] 中心は\left(\bunsuu43b,\ 0\right)となる.\ \mathRM{A(0,\ 0),\ B(b,\ 0)}より,\ 中心は線分\text{AB}を4:1に外分する点である. \\[.8zh] 半径は\,\bunsuu23b\,である.\ これは,\ 線分\text{AB}の長さの\,\bunsuu23\,である. \\\\
\zettaiti{\bekutoru{AP}}:\zettaiti{\bekutoru{BP}}=2:1\,と変形すると,\ \mathRM{Pは2点A,\ B}からの距離の比が2:1となる点とわかる. \\[.2zh] 一般に,\ 以下を知識としてもっておくと問題の見通しがよくなる. \\[1zh] \bm{\mathRM{2定点A,\ Bからの距離の比がm:n\ (m>0,\ n>0)である点の軌跡}} \\[.4zh] [1]\ \ m\neqq n \bm{\mathRM{線分ABをm:nに内分する点と外分する点を直径の両端とする円}} \\[.4zh] [2]\ \ m=n 線分\text{AB}の垂直二等分線 \\[1zh] [1]の円を\bm{アポロニウスの円}という.\ アポロニウスの円は,\ 他の分野でもたびたび登場する.
まず,\ 条件の図形的意味を把握できるかが重要である. \\[.2zh] \bekutoru{OA}=\bekutoru*a,\ \bekutoru{OB}=\bekutoru*b\ とすると,\ \bm{\mathRM{OA=5,\ OB=6,\ AB=7}の三角形}があると考えられる. \\[.2zh] 念のため確認しておくと,\ \zettaiti{\bekutoru*a-\bekutoru*b}=\zettaiti{\bekutoru{OA}-\bekutoru{OB}}=\zettaiti{\bekutoru{BA}}=7\ である. \\[1zh] 右辺に\,\bekutoru*p\,がないので,\ 与式は既に中心\text C(\bekutoru*c),\ 半径rの円のベクトル方程式\,\zettaiti{\bekutoru*p-\bekutoru*c}=rの形である. \\[.2zh] 中心の位置ベクトルが\,\bekutoru*a+\bekutoru*b\,であることはすぐにわかるので,\ 後は半径を求めればよい. \\[.2zh] やはり,\ ベクトルの大きさ\,\zettaiti{2\bekutoru*a-\bekutoru*b}\,は2乗して扱う.\ このとき,\ 内積\,\bekutoru*a\cdot\bekutoru*b\,の値が必要になる. \\[.2zh] 三角形の3辺から内積の値を求めるには,\ 余弦定理のベクトル表示を利用するのであった. \\[.2zh] 実際には,\ \zettaiti{\bekutoru*a-\bekutoru*b}=7の両辺を2乗するだけである.