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6\bekutoru{PA}+4\bekutoru{PB}+5\bekutoru{PC}=\bekutoru{0}\ を満たす\triangle ABCと点Pがある.}$ \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 点Pはどのような位置にあるか. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $\mathRM{\triangle PBC,\ \triangle PCA,\ \triangle PAB}\ の面積比を求めよ.$ \\
を満たす点Pの位置と三角形の面積比}}}} \\\\[1zh] 位置を考えるには,\ \textbf{\textcolor{blue}{位置ベクトル}}を用いればよい. \\[.2zh] そのために,\ \textbf{\textcolor{red}{基準点を設定(始点を統一)する}}必要がある. \\[.2zh] 条件式は始点がPに統一されているが,\ そもそもそのPがどこにあるかがわからない. \\[.2zh] そこで,\ \textbf{\textcolor{red}{始点をAに変更して考える}}ことになる. \\[.2zh] 結局,\ \textbf{\textcolor{red}{\bekutoru{AP}\ を求めると,\ PがAから見てどの位置にあるかがわかる}}というわけである. \\\\
{辺BCを$5:4$に内分する点をD}とすると $\textcolor{red}{\bekutoru{AP}=\bunsuu{3}{5}\bekutoru{AD}}$ \\\\
\phantom{ (1)}\ \ $\therefore \bm{\mathRM{点Pは,\ 線分BCを5:4に内分する点をD}とするとき,}$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $  \bm{\mathRM{線分ADを\bm{3:2}に内分する位置にある.}}$ \\\\
\bm{差への分解}することにより始点を\mathRM{A}に統一し,\ さらに\ \bekutoru{AP}\ について解く. \\[.2zh] ここから,\ 無理矢理\ \bm{内分点の位置ベクトルの公式\ \bekutoru*p=\bunsuu{n\bekutoru*a+m\bekutoru*b}{m+n}\ の形に変形する.} \\[.8zh] まず\,4\bekutoru{AB}+5\bekutoru{AC}\,に着目して分母に5+4をおき,\ 次に9を掛けてつじつまを合わせてやればよい. \\[.2zh] \bunsuu{4\bekutoru{AB}+5\bekutoru{AC}}{5+4}\ は,\ \mathRM{Aに対するBCを5:4に内分する点の位置ベクトルである.} \\[.8zh] この内分点を\mathRM{D}とおくと\ \bekutoru{AP}=\bunsuu35\bekutoru{AD}\ となり,\ \mathRM{PがAからDまでの\,\bunsuu35\,の位置にある}とわかる.
実は,\ 常に以下の事実が成り立つ.\ 検算効果もあるので,\ 覚えておくべきである. \\[.2zh] 6,\ 4,\ 5ではなく$a,\ b,\ c$のまま本問と同様に計算すると導かれる. \\[.2zh] \textbf{\textcolor{red}{条件式の係数がそれと対応する頂点の対辺側の面積になる}}ことを図形的に確認してほしい.
(1)で求めた比を元に三角形の面積比を求めるだけであり,\ ほぼ中学範囲である. \\[.2zh] 三角形の面積比は,\ \bm{全体または1つの欠片をSとおいて順に比で求めていく}とわかりやすい. \\[.2zh] 当然,\ 三角形の面積比は,\ \bm{高さが等しいなら底辺の比,\ 底辺が等しいなら高さの比}となる. \\[.2zh] 本解では,\ \triangle \mathRM{ABC}全体をSとおいて考えた. \\[.2zh] 全体をSとおくのを難しく感じる人は,\ どこかの欠片をSとおけばよい. \\[.2zh]