別解のrの分子が-b+2bとなっているのは-b+2cの間違いです。

collineation

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共線条件}}とは,\ \textbf{\textcolor{red}{3点が一直線上にある条件}}である. \\  ベクトルを用いると,\ 次のように簡潔に数式で表現できる. \\[.5zh]  このとき,\ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{始点または終点が一致していなければならない}}ことに注意する. \\[1zh]  $\bekutoru{AB}=k\bekutoru{CD}\ のように,\ 始点も終点も一致していない場合,\ \bm{\textcolor{blue}{平行条件}}である.$ \\  平行なだけで,\ A,\ B,\ C,\ Dのうち3点が一直線上にあるとは限らない. \\ 問題でどこを始点にすべきかが示唆されていない場合,\ \bm{自分で始点を設定する}. \\ 三角形の頂点にするか,\ それ以外の点\mathRM{O}にするかの2択がある. \\ いずれにしても,\ \bm{最終目標は\ \bekutoru{PR}=k\bekutoru{PQ}\ を示す}ことになる. \\ 本解は,\ \bm{始点を\mathRM{A}に統一する}方法である. \\ 最終目標は,\ 始点が\mathRM{P}の式であるが,\ 一旦全て始点を\mathRM{A}で考える. \\ 平面図形を扱うときの基本通り,\ \bm{2つの基本ベクトル\ \bekutoru{AB},\ \bekutoru{AC}\ を設定する.} \\ そして,\ 始点\mathRM{A}から主要な点までのベクトルをこの2つの基本ベクトルで表す. \\ 本問の場合,\ \mathRM{始点Aから点P,\ Q,\ Rまでのベクトル}を\ \bekutoru{AB},\ \bekutoru{AC}\ で表せば済む. \\ \mathRM{Pは辺AB上にあるから,\ }\bekutoru{AP}\ は\ \bekutoru{AB}\ だけで表される.\ \bekutoru{AQ}\ も同様である. \\ \bekutoru{AR}\ は,\ 始点を\mathRM{A}とする内分点の公式を用いて求められる. \\ 最終目標を目指して,\ \bekutoru{PQ},\ \bekutoru{PR}\ を求める. \\ このとき,\ \bekutoru{PQ},\ \bekutoru{PR}\ を差に分解することで,\ 始点を\mathRM{A}に変更できる. \\ \bm{最後,\ \bekutoru{PQ}=k\bekutoru{PR}\ が成り立っていることを示す.}\ \bekutoru{PQ}=\bunsuu27\bekutoru{PR}\ としてもよい. \\ なお,\ 同時に,\ \bm{\mathRM{PQ:QR=2:5}}\ であることもわかる. \\ これは,\ 「\mathRM{PQ:QR}を求めよ」という問題の解法が,\ 本問と同じことを意味する. \\ 別解は,\ \bm{基準点\mathRM{O}からの位置ベクトルを設定する}方法である. \\ この場合,\ \bm{基準となる3つの位置ベクトルが必要}である. \\ 頂点までの位置ベクトル\bekutoru*a,\ \bekutoru*b,\ \bekutoru*cを基準として,\ \bekutoru*p,\ \bekutoru*q,\ \bekutoru*rを表せばよい. \\ 全ての位置を\bekutoru*a,\ \bekutoru*b,\ \bekutoru*cで表してしまえば,\ 最後は\ \bekutoru{PR}=k\bekutoru{PQ}\ を示すだけである. \\ 本問は始点を\mathRM{A}とする2つの基本ベクトルを用いる解法が簡潔である. \\ 始点を\mathRM{O}とすると,\ 基準とするベクトルが3つになるからである. \\ 3つになるかわりに,\ \mathRM{A,\ B,\ C}の対等性が保たれ,\ その方がよい場合もある. \\ 始点をどこにとると楽かは問題によるので,\ いずれの解法も重要である. \\ さて,\ 本問を幾何的に証明するには,\ メネラウスの定理の使用が考えられる. \\ 簡潔ではあるが,\ 別の構図になると,\ 異なる定理や発想が必要になる. \\ 一方,\ \bm{ベクトルによる証明は,\ 最終目標を目指した単なる機械的数式処理で済む.} \\ \bm{ひらめきを必要とせず,\ 応用範囲が極めて広いことが,\ ベクトルの利点である.}