area-ratio

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を満たす\triangle ABCと点Pがある.}$ \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ 点Pはどのような位置にあるか. \\[.5zh] \hspace{.5zw} (2)\ $\mathRM{\triangle PBC,\ \triangle PCA,\ \triangle PAB}\ の面積比を求めよ.$ \\  位置を考えるには,\ \textbf{\textcolor{blue}{位置ベクトル}}を用いればよい. \\  そのために,\ \textbf{\textcolor{red}{基準点を設定(始点を統一)する}}必要がある. \\  条件式は,\ すでに始点がPに統一されている. \\  しかし,\ そもそもそのPがどこにあるかがわからない. \\  そこで,\ \textbf{\textcolor{red}{始点をAに統一し直して考える}}ことになる. \\  結局,\ \textbf{\textcolor{red}{\bekutoru{AP}\ を求めると,\ PがAから見てどの位置にあるかがわかる}}のである. \\\\ \phantom{ (1)}\ ここで,\ \textcolor{cyan}{辺BCを$5:4$に内分する点をD}とすると \phantom{ (1)}\ $\therefore \bm{\mathRM{点Pは,\ 線分BCを5:4に内分する点をD}とするとき,}$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ $  \bm{\mathRM{線分ADを\bm{3:2}に内分する位置にある.}}$ \\\\ \bm{差への分解}により,\ 始点を\mathRM{A}に統一し,\ \bekutoru{AP}\ について解く. \\ ここから,\ 無理矢理\ \bm{内分点の公式\ \bekutoru*p=\bunsuu{n\bekutoru*a+m\bekutoru*b}{m+n}\ の形に変形する.} \\ まず,\ 4\bekutoru{AB}+5\bekutoru{AC}\ に着目し,\ 分母に5+4をおく. \\ 次に,\ 9を掛けてつじつまを合わせてやればよい. \\ \bunsuu{4\bekutoru{AB}+5\bekutoru{AC}}{5+4}\ は,\ \mathRM{AからBCを5:4に内分する点までの位置ベクトルである.} \\ この点を\mathRM{D}とおくと,\ \bekutoru{AP}=\bunsuu35\bekutoru{AD}\ と表される. \\[.5zh] これは,\ \mathRM{PがAからDまでの\bunsuu35の位置にあることを意味している.} (1)で求めた比を元に,\ 三角形の面積比を求める. \\ これは中学の範囲であるが,\ 意外にできない学生が多い. \\ \bm{全体をSとおくか,\ 1つの欠片をSとおいて順番に比で求めていく.} \\ 当然,\ 面積比は,\ \bm{高さが等しいなら底辺の比,\ 底辺が等しいなら高さの比}となる. \\ 本解では,\ \triangle \mathRM{ABC}全体をSとおいて考えた. \\ \mathRM{\triangle PCAと\triangle PAB}をSで表すには,\ 2段階を踏む必要がある. \\ 全体をSとおくのを難しく感じる人は,\ どこかの欠片をSとおけばよい. \\ 試しに,\ \mathRM{\triangle PAB}=Sとおいて求めてみると,\ 以下のようになる. \\ 上で述べたように,\ 面積比の結果は覚えておこう. \\ \bm{各頂点にかかる係数とその対辺側の面積が対応する}ことを図形的にとらえておく.