parallelogram

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座標平面上の図形を扱えるように,\ \textbf{\textcolor{magenta}{ベクトルを$\bm{x成分とy成分}$で表す.}} \\  次のように,\ 座標A$(a_1,\ a_2)$と座標B$(b_1,\ b_2)$が与えられたとする. \\\\  このとき,\ $\bm{\textcolor{blue}{\bekutoru{AB}\ の成分表示}}は  \bm{\bekutoru{AB}=\textcolor{red}{(b_1-a_1,\ b_2-a_2)}}$ \\\\  \textbf{\textcolor{magenta}{成分表示に関する注意点}}を2つ挙げる. \\[.5zh]   \maru1\ \textbf{座標と成分の混同に注意.} \\[.2zh] \bm{\textcolor{cyan}{\mathRM{A}(1,\ 2)}} &  \mathRM{A}は,\ \bm{\textcolor{red}{x座標1,\ y座標2の点}}である. \\[.2zh] \bm{\textcolor{cyan}{\bekutoru*a=(1,\ 2)}} &  \bekutoru*aは,\ \bm{\textcolor{red}{x成分1,\ y成分2のベクトル}}である.   \maru2\ $\bm{\bekutoru{AB}\ を成分で表示するとき,\ \textcolor{red}{座標\mathRM{B}から座標\mathRM{A}を引く.}}$ \\\\  \textcolor{blue}{\textbf{ベクトルの大きさの成分表示}} \\[.5zh]  \textbf{\textcolor{cyan}{ベクトルの大きさは,\ 図形的には長さ}}なので,\ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{三平方の定理}}で求まる. \\  大きさは絶対値記号で表すが,\ 負を正にする絶対値とは別物と考えておく. \\\\  \textcolor{blue}{\textbf{成分による演算}} $\bm{\textcolor{cyan}{x成分}と\textcolor{magenta}{y成分}をそれぞれ計算する.}$ \\[.5zh]  成分を縦に表記するとわかりやすい(成分が増える大学ではこれが普通). \\[.2zh] \hspace{.5zw}3点A(1,\ 2),\ B(4,\ 1),\ C(5,\ 5)がある. \\[.2zh] \hspace{.5zw}四角形ABCDが平行四辺形となるとき,\ 点Dの座標を求めよ. \\[.2zh] \hspace{.5zw}また,\ この平行四辺形の対角線の長さを求めよ. \\ 平行四辺形であるための条件は,\ 中学生のときに学習済みである. \\ 多くの学生は忘れてしまっていると思われるので,\ まずはそれを確認する. \\   定義 2組の対辺がそれぞれ平行である. \\   定理 2組の対辺がそれぞれ等しい. \\   定理 2組の対角がそれぞれ等しい. \\   定理 対角線がそれぞれの中点で交わる. \\   定理 1組の対辺が平行でその長さが等しい. \\ このうちどれか1つが成り立てばよいが,\ 日本語ではなかなか利用が難しい. \\ 高校では,\ 向きと大きさを併せ持つベクトルを用いて数式で簡潔に表現できる. \\ 「1組の対辺が平行でその長さが等しい」は,\ 数式 最初は存在価値がわかり辛いベクトルだが,\ ここで初めて便利さを実感できる.  座標$\mathRM{D}を(x,\ y)とおく. \bekutoru{AC}=(5,\ 5)-(1,\ 2)=(4,\ 3)を計算した後,\ \ruizyoukon{4^2+3^2}=5としてもよい. \\ しかし,\ 座標が文字になっている場合など,\ 常に計算ができるとは限らない. \\ よって,\ \bm{直接\ \ruizyoukon{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2}\ の形に書けるようにしておくこと.} \\ 実質的には,\ ただ単に三平方の定理で\mathRM{AとC}の2点間の距離を求めたにすぎない. \\ さて,\ 本問は,\ \bm{「四角形\uwave{\mathRM{ABCD}}が平行四辺形」}となる条件である. \\ これは,\ 4点を\bm{\mathRM{A\to B\to C\to D\to A}と辿った平行四辺形}という意味である. \\ もし,\ 問題が\bm{「4点\mathRM{A,\ B,\ C,\ D}を頂点とする平行四辺形」}であれば話が変わる. \\ \bm{\mathRM{「A\to B\to D\to C\to A」「A\to D\to B\to C\to A」}}が存在するからである. \\ よって,\ この場合,\ \bm{平行四辺形となる点\mathRM{D}の座標は全部で3個}答えることになる.