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座標平面上の図形を扱うことを想定し,\ \textbf{\textcolor{magenta}{ベクトルを$\bm{x成分とy成分}$で表す.}} \\[.2zh] 次のように,\ 座標A$(a_1,\ a_2)$と座標B$(b_1,\ b_2)$が与えられたとする. \\\\
}{\bekutoru{AB}\ の成分表示}}  \bm{\bekutoru{AB}=\textcolor{red}{(b_1-a_1,\ b_2-a_2)}}$}} \\\\
\textbf{\textcolor{magenta}{成分表示に関する注意点}}を2つ挙げる. \\[1zh] [1]\ \ \textbf{座標と成分の混同に注意する.} \\[.5zh] \rei\ \ $\begin{cases}
\ \bm{\textcolor{cyan}{\mathRM{A}(3,\ 2)}} &  \mathRM{A}は,\ \bm{\textcolor{red}{x座標3,\ y座標2の点}}である. \\[.5zh] \ \bm{\textcolor{cyan}{\bekutoru{AB}=(3,\ 2)}} &  \bekutoru{AB}\ は,\ \bm{\textcolor{red}{x成分3,\ y成分2のベクトル}}である.
\end{cases}$ \\[1zh] [2]\ \ $\bekutoru{AB}\ を成分で表示するとき,\ \bm{\textcolor{red}{座標\mathRM{B}から座標\mathRM{A}を引く.}}$ \\\\[1zh] \centerline{{\small \scalebox{1}[.97]{$\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l}
[1]\ \ \bekutoru{AB}=(3,\ 2)は,\ 点\text Aからx方向に3,\ y方向に2行くと点\text Bに到達することを意味する. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ このような点\text{A,\ B}の組は座標平面上に無限にある. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 例えば,\ \text A(1,0)と\text B(4,\ 2)や\text A(-\,2,\ -\,5)と\text B(1,\ -\,3)などである. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ \text A(3,\ 2)が座標平面上の決まった1点(3,\ 2)のみを表すこととの違いに注意してほしい. \\[1zh] \phantom{[1]}\ \ ここで,\ 点\text A(3,\ 2)に対して原点\text O(0,\ 0)を始点としたベクトル\,\bekutoru{OA}\,を考えてみよう. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ \bekutoru{OA}\,の成分は\ \bekutoru{OA}=(3,\ 2)-(0,\ 0)=(3,\ 2)\ であり,\ 点\text Aの座標(3,\ 2)と一致する. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ この\bm{原点を始点にとると座標と成分が一致する}という事実は,\ 応用上極めて重要である. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 後に\bm{「点\textbf Aの座標を求める」=「\,\bekutoru{OA}\,の成分を求める」}を利用して図形問題を解くことになる. \\[1zh] [2]\ \ 座標\text A(a_1,\ a_2),\ \text B(b_1,\ b_2)に対して原点\text{O}を始点とすると \bekutoru{OA}=(a_1,\ a_2),\ \ \bekutoru{OB}=(b_1,\ b_2) \\[.4zh] \phantom{[1]}\ \ ここで,\ ベクトルの始点を変更するとき,\ 矢印の矢先から尾を引くのであった. \\[.2zh].
\bekutoru{AB}=(b_1-a_1,\ b_2-a_2)}$\ の大きさ}} \\[1zh] \textbf{\textcolor{cyan}{$\bm{\bekutoru{AB}}$の大きさは図形的には線分ABの長さ}}なので,\ 単なる\textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{三平方の定理}}である. \\[.2zh] 大きさは絶対値記号で表すが,\ 負を正にする絶対値とは別物と考えておく. \\\\
\textcolor{blue}{\textbf{成分によるベクトルの演算}} \\[1zh] $\bm{\textcolor{cyan}{x成分}と\textcolor{magenta}{y成分}をそれぞれ計算する.}$ \
成分を縦に表記するとわかりやすい(成分が4個,\ 5個になる大学ではこれが普通). \\[.5zh] \centerline{$k\retube{\textcolor{cyan}{a_1}}{\textcolor{magenta}{a_2
\hspace{.5zw}$\bekutoru*a=(2,\ 3),\ \bekutoru*b=(-\,4,\ 2)$のとき,\ ベクトル$2\bekutoru*a-\bekutoru*b$を成分で表し,\ 大きさを求めよ. \\[.5zh] \hspace{.5zw}さらに,\ $2\bekutoru*a-\bekutoru*b$と平行な単位ベクトル$\bekutoru*e$を求めよ. \
2\bekutoru*a-\bekutoru*b\,の成分は,\ x成分とy成分を別々に計算するだけである. \\[1zh] 大きさは\ \ruizyoukon{8^2+4^2}=\ruizyoukon{80}=4\ruizyoukon5\ と計算してもよいが,\ うまくない. \\[.2zh] 今後z成分も考慮したり,\ 数値が大きくなったりした場合,\ 計算が一気に面倒になる. \\[.2zh] 2\bekutoru*a-\bekutoru*b=(8,\ 4)=4(2,\ 1)と考えると,\ 実質的に\ \ruizyoukon{2^2+1^2}=\ruizyoukon5\ だけの計算で済む. \\[1zh] \bm{大きさが1のベクトル}が単位ベクトルなので,\ \bekutoru*a\,の単位ベクトルは\ \bm{\bunsuu{\bekutoru*a}{\zettaiti{\bekutoru*a}}}\ となるのであった. \\[.5zh] 例えば,\ \bekutoru*a\,の大きさ\zettaiti{\bekutoru*a}=2ならば,\ \bunsuu{\bekutoru*a}{2}\,として大きさが1のベクトルを作ることができる. \\[.6zh] ただし,\ \bekutoru*a\ の単位ベクトルには,\ 同じ向きのもの\,\bunsuu{\bekutoru*a}{\zettaiti{\bekutoru*a}}\,と逆向きのもの\,-\bunsuu{\bekutoru*a}{\zettaiti{\bekutoru*a}}\,が存在する. \\[1.3zh] 「同じ向き」「逆向き」ならば一方のみ,\ 「平行な」ならば両方を答える.