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ABCにおいて,\ AB=5,\ BC=7,\ CA=6\ とする.}$ \\[.5zh]を用いて表せ.}$ \内心の位置ベクトル}}}} \\\\
\textbf{\textcolor{blue}{内心(内接円の中心)}}は,\ \textbf{\textcolor{red}{三角形の3つの内角の二等分線の交点}}である. \\[.2zh] 内心の位置は,\ \textbf{\textcolor{cyan}{角の二等分線と辺の比の関係(数A:平面図形)を2回適用}}して求められる.
$\angle$Aの二等分線と線分BCとの交点をDとすると \{角の二等分線と辺の比の関係}\,]$
ベクトルというよりも事実上数\text Aの平面図形の問題であり,\ 本問の肝は既に学習済みである. \\[.2zh] 2つの内角の二等分線のみ考慮すれば,\ 1点(内心)が定まる. \\[1zh] まず,\ \bm{\triangle\mathRM{ABC}に角\mathRM{A}の二等分線と辺の比の関係}を適用する. \\[.2zh] \mathRM{BD:DC}がわかるから,\ 公式\,\bekutoru*p=\bunsuu{n\bekutoru*a+m\bekutoru*b}{m+n}\,を用いて\,\bekutoru{AD}\,を求められる. \\[.8zh] 次に,\ \bm{\triangle\mathRM{BAD}に角\mathRM{B}の二等分線と辺の比の関係}を適用する. \\[.2zh] このとき,\ \mathRM{BC=7とBD:DC=5:6を元にBDの長さを求める必要がある.} \{基準点をOとする位置ベクトル}}で表現すると式が対称的で美しくなる. \
記述試験で無断使用できないが,\ 公式として暗記しておくと検算に役立つ.
この公式を用いると,\ 最初の問題で始点をOとしたときの内心の位置は次となる. \