position-vector-intersection

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\triangle\mathRM{OAB}において,\ 辺\mathRM{OA}を3:2に内分する点を\mathRM{C},\ 辺\mathRM{OB}を3:4に内$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$分する点を\mathRM{D},\ 線分\mathRM{ADとBC}との交点を\mathRM{P},\ 直線\mathRM{OPと辺AB}との交$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$点を\mathRM{Q}とする.\ $ \\[1zh] 交点の位置ベクトルを2通りに表し, 係数を比較する.}} \\\\ 係数比較する 交点の位置ベクトルを求めるときの最も基本的で最も重要な考え方である. \\ \mathRM{Pは線分ADと線分BCの内分点なので,\ \bekutoru{OP}\ は内分点の公式で2通りに表せる.} \\ 分点の公式\ \bekutoru*p=\bunsuu{n\bekutoru*a+m\bekutoru*b}{m+n}\ において,\ 常に(係数の和)=\bunsuu{n}{m+n}+\bunsuu{m}{m+n}=1 \\ よって,\ あらかじめ\bm{係数の和が1になるように比を設定する}と後が楽になる. \\ sと(1-s)は逆でもよいが,\ 後に\bunsuu37を掛けなくて済む方を複雑な(1-s)にした. \\ \bm{\bekutoru{OP}\ を\ \bekutoru*aと\bekutoru*b\ で2通りに表し},\ 次を利用する.\ 要するに,\ \bm{係数比較}する. \\[.5zh] 1次独立 \bm{下線部の記述を忘れてはいけない.}\ この条件の下で係数比較ができるのである. \\ 下線部は,\ 代わりに\bm{「\bekutoru*aと\bekutoru*bは1次独立」}と記述してもよい. \\ 通常,\ sとtを両方求めるが,\ 実際にはsかtの一方が求まれば,\ \bekutoru{OP}\ が求まる. \\ 一連の流れを最低限の思考だけで機械的に実行できるまでに習熟しておきたい. 直線のベクトル方程式を利用する.}} \\\\ \bm{異なる2点\mathRM{A(\bekutoru*a),\ B(\bekutoru*b)}を通る直線のベクトル方程式}が次である. \\ \bm{\bekutoru*p=s\bekutoru*a+t\bekutoru*b ただし\ s+t=1\ (係数の和=1)} \\ この直線のベクトル方程式は,\ \bm{点\mathRM{P}(\bekutoru*p)が直線\mathRM{AB}上にある条件}とみなせる. \\ これを利用し,\ \mathRM{P}が直線\mathRM{ADと直線BC上にあることを立式し,\ 連立する.} \\ \mathRM{「PがAD上にある」は,\ \bm{\bekutoru{OP}\ を\ \bekutoru{OA}\ と\ \bekutoru{OD}\ で表し,\ (係数の和)=1}とできる.} \\ \mathRM{PがBC}上にある条件も同様に立式できる. \\ 本問では一般的ではないが,\ 応用性が高く重要な解法であるため,\ 習得して欲しい. 一般的に,\ メネラウスの定理は,\ \bm{三角形と1つの直線の構図}で利用できる. \\ 本問をメネラウスの定理を用いて解くには,\ やや慣れが必要である. \\ まず,\ 必要なのは\mathRM{AP:PD}なので,\ \bm{\triangle\mathRM{OAD}と交わる直線\mathRM{CB}があるとみなす.} \\ さらに,\ 「\mathRM{OBを3:4に内分する点がD}」を言い換える必要がある. \\ つまり,\ \mathRM{\bm{「ODを7:4に外分する点がB」}と考えなければならない.} \\ \bm{頂点→分点→頂点の順で,\ \mathRM{OADBO}と1周する.} \\ \bm{メネラウスの定理 簡潔に済む上,\ 裏技ではなく,\ 記述試験で堂々と利用できるのが有り難い.  \textbf{\textcolor{blue}{基本} \textcolor{red}{交点の位置ベクトルを2通りに表し,\ 係数を比較する.}} \\\\  (2)\ $\mathRM{\textcolor{cyan}{AQ:QB=u:(1-u)}\ とする点Qは直線OP上にある}係数比較すると$ \mathRM{Qは線分ABを内分する点であるから,\ \bekutoru{OP}\ の場合と同様に比を設定して表す.} \\ また,\ \mathRM{Qは直線OP上の点でもあるから,\ \bekutoru{OQ}\ を共線条件で表すこともできる.} \\ 係数比較により,\ kかuの一方が求まれば,\ \bekutoru{OQ}\ が求まる. \\ この方法は,\ \bekutoru{OP}\ を求める場合とは異なり,\ \bm{非推奨}である(理由は以下).  \textbf{\textcolor{blue}{別解\maru1} \textcolor{red}{直線のベクトル方程式を利用する.} まず,\ 共線条件によって,\ \bekutoru{OQ}\ を表す. \\ \mathRM{点Qが直線AB上にあることから,\ }\bm{(係数の和)=1}で直ちにkの値が求められる. \\ \bekutoru{OQ}\ を求めるときは,\ 簡潔であり応用性が高いこの方法が\bm{推奨}される. 別解\maru2} \textcolor{red}{チェバの定理を利用する.}} \\\\ 一般的に,\ チェバの定理は,\ \bm{三角形と1点の構図}で利用できる. \\ 頂点→分点→頂点の順で\mathRM{\triangle OAB}を一周するだけである. \\ メネラウスの定理と違い,\ 容易に適用できる. \\ \bm{チェバの定理