circumcenter-equality

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ABCにおいて,\ 外接円の半径を1,\ 外心をOとする. \\[.5zh] \hspace{.5zw}$また,\ \triangle\mathRM{ABC}は,\ 5\bekutoru{OA}+7\bekutoru{OB}+8\bekutoru{OC}=\bekutoru{0}\ を満たしている.$ \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ $\angle\mathRM{COA}を求めよ.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw} (2)\ $\triangle\mathRM{ABC}の面積Sを求めよ.$ \\  この等式に関する問題を解くときのポイントが2つある. \\  まずは,\ そのうちの1つ目を確認しつつ,\ (1)を求めよう. \\\\  $[1]$\ \textbf{\textcolor{red}{1つだけ移項し,\ 両辺の大きさを2乗すると,\ 内積が求まる.}} \\ 内積が求まるということは,\ 中心角の$\bm{\cos}$が求まる}}ことを意味する. \\\\ \angle\mathRM{COA}を求めるには,\ \bekutoru{OA}\cdot\bekutoru{OC}\ が求まればよい. \\ そのために,\ \bm{\bekutoru{OB}\ を分離し,\ 両辺を2乗}する. \\ \bm{(半径の大きさ)=1}を用いると,\ 内積の値が求まる. \\ この方法は,\ 一度は経験がないと気付くのが難しいだろう. \end{array}}\right]$}} \\\\\\\\  (1)で\textbf{\textcolor{purple}{$\bm{\triangle}$OACが決定}}した.\ 後は,\ \textbf{\textcolor{purple}{点Bを決定して面積を求める}}だけである. \\  このとき,\ 注意すべきポイントが次である. \\\\  $[2]$\ \textbf{\textcolor{red}{頂点Bの位置が,\ ACの優弧側か劣弧側かを確認する.}} \\ \phantom{ $[1]$}\ 下図のどちらになるかで,\ 面積の求め方が変わるからである. \\[.5zh] (1)と同様に内積を求め,\ \bm{三角形の面積のベクトル表示}を利用して面積を求める. \\ ただし,\ \triangle\mathRM{OCA}だけは,\ 有名角なので三角比の公式を用いればよい. \\ \mathRM{Bの位置を確認するため,\ \bm{内積の正負に着目}する.} \\ 2つのベクトルのなす角を\ \theta\ (0\Deg180)とする. \\ \bm{(内積)0}となるとき,\ \cos\theta0から,\ \bm{\theta\ は鋭角}とわかる. \\ \bm{(内積)0}となるとき,\ \cos\theta0から,\ \bm{\theta\ は鈍角}とわかる. \\[.3zh] つまり,\ \bekutoru{OB}\ と\ \bekutoru{OC},\ \bekutoru{OA}\ と\ \bekutoru{OB}\ のなす角がそれぞれ鈍角であることがわかる. \\ これは,\ \bm{頂点\mathRM{BがACの優弧側にあることを意味している}}のである. \\ 結局,\ Sを求めるには,\ 3つの三角形の面積を足せばよいことになる. \\ 本問は\ \bm{a\bekutoru{PA}+b\bekutoru{PB}+c\bekutoru{PC}=\bekutoru{0}\ を満たす点\mathRM{P}の位置問題}の特殊な場合である. \\ この問題では三角形は決定できなかったが,\ 本問は追加条件(外心)で決定する. \\ また,\ \mathRM{\triangle PBC:\triangle PCA:\triangle PAB}=a:b:c\ が成立していた. \\ 本問においても,\ \bm{\mathRM{\triangle OBC:\triangle OCA:\triangle OAB}=5:7:8}\ が成立している.  Bの位置の確認だけなら,\ \textbf{\textcolor{red}{\bekutoru{OB}を内分公式の形に無理矢理変形する}}と速い. \\[.5zh]  ここで,\ \textcolor[named]{ForestGreen}{辺ACを$8:5$に内分する点をD}とした. \\  このとき,\ 頂点Bが\textcolor{red}{$\mathRM{BO:OD=13:7}$となる位置}にあることがわかる. \\  これは,\ 頂点BがACの優弧側にあることを意味している.