3頂点A,B,Cを動かして直角三角形や直角二等辺三角形や鈍角三角形を作ってみましょう。
正三角形では重心・外心・垂心が一致するためにオイラー線は存在しないので描かれません。しかし、手動で0.01の狂いもない完璧な正三角形を作ることはほぼ不可能ですのでボタンを作成しています。


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ABCにおいて,\ 重心をG,\ 外心をOとする. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $\bekutoru{OH}=\bekutoru{OA}+\bekutoru{OB}+\bekutoru{OC}\ を満たす点\mathRM{H}は垂心であることを示せ.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ 3点O,\ G,\ Hが一直線上にあり,\ $\mathRM{OG:GH=1:2}$であることを示せ. \\
オイラー線(重心・外心・垂心の位置関係)}}}} \\\\
\phantom{ (1)}\ \ ここで,\ $\angle\mathRM{C}=90\Deg$としても一般性を失わないから,\
\phantom{ (1)}\ \ $\therefore \bm{\mathRM{AH\perp BC,\ BH\perp CA\ より,\ 点Hは\triangle ABCの垂心である.}
{垂心は,\ 3頂点から対辺に下ろした3本の垂線の交点}である. \\[.2zh] 2本の垂線で垂心が定まるから,\ 2つの垂直条件を確認すれば十分であり,\ 当然\bm{(内積)=0}を示す. \\[.2zh] \bm{基準点を外心\mathRM{O}に統一して展開し,\ \zettaiti{\bekutoru{OA}}=\zettaiti{\bekutoru{OB}}=\zettaiti{\bekutoru{OC}}\ を利用}すればよい. \\[1zh] \bekutoru{AH}\neqq\bekutoru*0,\ \bekutoru{BH}\neqq\bekutoru*0,\ \bekutoru{BC}\neqq\bekutoru*0,\ \bekutoru{CA}\neqq\bekutoru*0\ を確認した上で,\ \mathRM{AH\perp BC,\ BH\perp CA}とする必要がある. \\[.4zh] \mathRM{BC,\ CA}は三角形の辺であるから,\ \bekutoru{BC}\neqq\bekutoru*0,\ \bekutoru{CA}\neqq\bekutoru*0\ は明らかである. \\[.2zh] しかし,\ 直角三角形のとき,\ 垂心\mathRM{H}は三角形の頂点と一致する. \\[.2zh] 例えば,\ \angle\mathRM{A}=90\Deg\ のとき\ \bekutoru{AH}=\bekutoru*0\ であるから,\ 安易に\ \bekutoru{AH}\neqq\bekutoru*0\ とはできない. \\[.2zh] \mathRM{A,\ B,\ C}のどれを直角としても一般性を失わないので,\ \angle\mathRM{C}=90\Deg\ として考える. \\[.2zh] このとき,\ \mathRM{垂心HはCと一致し,\ 結局\ \bekutoru{AH}=\bekutoru{AC}\neqq\bekutoru*0,\ \bekutoru{BH}=\bekutoru{BC}\neqq\bekutoru*0}\ とできる. \\[1zh] \bm{外心を始点にすると垂心の位置ベクトルが\ \bekutoru{OH}=\bekutoru{OA}+\bekutoru{OB}+\bekutoru{OC}\ となる}ことは覚えておきたい. \\[.2zh] このとき,\ \text Oは外心であって任意の点ではないので注意してほしい.
3点O,\ G,\ Hは一直線上にあり,\ OG:GH=1:2である.}}$} \\
頂点\ \mathRM{A(\bekutoru*a),\ B(\bekutoru*b),\ C(\bekutoru*c)}\ の三角形の重心の位置ベクトルは \bekutoru*g=\bunsuu{\bekutoru*a+\bekutoru*b+\bekutoru*c}{3} \\[.8zh] 位置ベクトルの基準点はどこでもよいので,\ 外心\mathRM{O}を基準点としても式は変わらない. \\[.2zh] 結局,\ \bm{\bekutoru{OG}=k\bekutoru{OH}\ (k:実数)}と表されるので,\ 一直線上にあることが示される. \\[.2zh] 同時に,\ \bm{\mathRM{OG}の大きさが\mathRM{OH}の\,\bunsuu13\,}であることから,\ \mathRM{OG:GH=1:2もわかる.} \\\\
(2)は三角形の有名性質であり,\ 3点\mathRM{外心O,\ 重心G,\ 垂心H}を通る直線を\bm{オイラー線}という. \\[.2zh] なお,\ 正三角形では,\ 3点\mathRM{G,\ O,\ H}が一致するからオイラー線は存在しない.