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次の式を満たす整数解の組は何通りあるか. \\[.5zh] \hspace{.5zw}$ (1)\ \ x+y+z=8 (x\geqq0,\ \ y\geqq0,\ \ z\geqq0)$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}$ (2)\ \ x+y+z=8 (x\geqq1,\ \ y\geqq1,\ \ z\geqq1)$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}$ (3)\ \ x+y+z\leqq8 (x\geqq0,\ \ y\geqq0,\ \ z\geqq0)$ \\  (1)\ \ $\textcolor{cyan}{異なる3個のものから,\ 重複を許して8個取る重複組合せ}であるx-1=X,\ \ y-1=Y,\ \ z-1=Z}\ とおく.$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $このとき x=X+1,\ \ y=Y+1,\ \ z=Z+1$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $よって  \textcolor{magenta}{X+Y+Z=5 (X\geqq0,\ \ Y\geqq0,\ \ Z\geqq0)}$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ $\textcolor{cyan}{異なる3個のものから,\ 重複を許して5個取る重複組合せ}である.8個の○の間の7箇所に2本の|を入れる方法を考える.}$ 先にx,\ y,\ zに1ずつ配分しておき,\ 後で残りの5を配分する.}$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\textcolor{cyan}{異なる3個のものから,\ 重複を許して5個取る重複組合せ}である.$ \\[.5zh] \centerline{$\therefore \textcolor{red}{\kumiawase72}=\bm{21\ (通り)}$}よって \textcolor{magenta}{x+y+z+w=8  異なる4個のものから,\ 重複を許して8個取る重複組合せ}である. 整数解の組数は,\ 実質重複組合せである. \\ そして,\ 重複組合せは,\ 同じものを含む順列に帰着するのであった. \\ 極めて応用性が高いので,\ 必ず以下の考え方を習得しておこう. \\[1zh] (1)\ \ x,\ y,\ zの値は,\ 次のようにして○8個と|\ 2本の順列と対応する. \\ \phantom{(1)}\ \ ○○○|○○|○○○ → x=3,\ \ y=2,\ \ z=3 \\ \phantom{(1)}\ \ ||○○○○○○○○ \ \ → x=0,\ \ y=0,\ \ z=8 \\ \phantom{(1)}\ \ 結局,\ 重複組合せと同じく,\ ○と|の並びの総数を求めることに帰着する. \\[1zh] (2)\ \ 重複組合せとして(1)と同様に考えるには,\ 0以上である必要がある. \\ \phantom{(1)}\ \ 1以上の場合,\ |\ 2本が連続することが許されない. \\ \phantom{(1)}\ \ そこで,\ \bm{0以上となるように変数変換を行う.} \\ \phantom{(1)}\ \ y,\ zも同様に変換し,\ X,\ Y,\ Zのみの式にすると,\ (1)と同じ問題に帰着する. \\ \phantom{(1)}\ \ \bm{x,\ y,\ zとX,\ Y,\ Zは1対1に対応する}から,\ X,\ Y,\ Zの組数を求める. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 実質同じだが,\ わかりやすさでは別解のほうが有利である. \\ \phantom{(1)}\ \ 別解1は,\ \bm{「○\land○\land○\land○\land○\land○\land○\land○」の\land に2本の|を入れる.} \\ \phantom{(1)}\ \ 別解2は,\ \bm{○8個のうちの3個を1個ずつx,\ y,\ zに配分すると決めておく.} \\ \phantom{(1)}\ \ 結局,\ 残りの○5個の配分の仕方が何通りあるかに帰着する. \\ \phantom{(1)}\ \ このとき,\ ○○|○|○○\ は,\ x=3,\ y=2,\ z=3\ を意味することになる. \\ \phantom{(1)}\ \ 応用性を考えると本解のほうが有利なので,\ これらは別解とした. \\[1zh] (3)\ \ 本問を普通に解く場合,\ \bm{右辺の値で場合分け}することになる. \\ \phantom{(1)}\ \ つまり,\ x+y+z=0,\ \cdots,\ x+y+z=8\ のそれぞれの解の組数を求める. \\ \phantom{(1)}\ \ すると,\ \kumiawase22+\kumiawase32+\cdots+\kumiawase{10}{2}=165\ となるが,\ かなり面倒である. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 本問には,\ 恐ろしく巧妙な解法が存在する.\ 応用性も高く,\ 推奨される. \\ \phantom{(1)}\ \ \bm{x+y+z\ と8の差を文字でおいて,\ 不等式を等式に変換する}のである. \\ \phantom{(1)}\ \ 存在しないwを導入することで,\ 9つの場合が右のように対等になる. \\[.5zh] \phantom{(1)}\ \  x+y+z=0\ \Longleftrightarrow\ x+y+z+w=8\ (w=8) \\ \phantom{(1)}\ \  x+y+z=1\ \Longleftrightarrow\ x+y+z+w=8\ (w=7) \\ \phantom{(1)}\ \         \ \ \vdots \\ \phantom{(1)}\ \  x+y+z=8\ \Longleftrightarrow\ x+y+z+w=8\ (w=0) \\[.5zh] \phantom{(1)}\ \ 結局,\ \bm{x+y+z\leqq8\ の組数は,\ x+y+z+w=8\ の組数と一致する.} 8個の苺をA,\ B,\ Cの3人に分ける方法は何通りあるか. \\[.5zh] \hspace{.5zw}ただし,\ 1個ももらえない人がいてもよいとする. \\  A,\ B,\ Cの3人がもらう個数をそれぞれ$x,\ y,\ z$とすると  求める場合の数は,\ \maru1を満たす整数$(x,\ y,\ z)$の組数に等しい. \\[.2zh]  これは,\ \textcolor{cyan}{異なる3個のものから重複を許して8個取る重複組合せ}である. 整数解の組数の求め方が真に役立つのは,\ むしろ通常の重複組合せの問題である. \\[1zh] 本問は\ \bm{8個の苺に重複を許して\text{\textbf{A,\ B,\ C}}を対応させる}と重複組合せの扱いになる. \\ つまり,\ \bm{\text{\textbf{A,\ B,\ C}}\,から重複を許して8個を選ぶ}と考えるわけである. \\ このような対応は自然とは言えず,\ 重複組合せとみることが難しいかもしれない. \\[1zh] そこで,\ とりあえず\bm{条件を数式で表現してみる}と,\ 整数解の組数の問題になる. \\ 重複組合せの問題は,\ \bm{逆に整数解の組数の問題としてとらえると楽なことが多い.} \\ 変に対応を考えることもなく,\ 半ば機械的に処理できるようになる. \\ 以上から,\ \bm{整数解の組数の求め方の応用性は極めて高い}といえるのである.