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同じものがそれぞれp個,\ q個,\ r個ずつ,\ 全部でn個ある.}}$ \\[.5zh]  $このn個のものを全て並べる順列の総数は 同じものを含む順列は,\ \bm{実質組合せ}である. \\ 並べるとはいっても,\ \bm{区別できないものは並びが関係なくなる}からである. \\[1zh] このことを理解するための例として,\ \text{A}\,2個と\text{B}\,3個を並べることを考える. \\ これは,\ \bm{5箇所\\ から\text{A}を入れる2箇所を選ぶ}ことに等しい. \\ \text{A}が入る2箇所が決まれば,\ 自動的に\text{B}が入る3箇所が決まるからである. \\ 結局,\ \text{A}\,2個と\text{B}\,3個の並びの総数は,\ \kumiawase52=10\ 通りである. \\[1zh] この組合せによる考え方は,\ 同じものの種類が増えると面倒になる. \\ そこで便利なのが\bm{階乗の形の表現}である.\ と表せるのであった. \\ 同じものを含む順列に対して,\ 階乗の表現は次のような意味付けができる. \\ \bm{一旦5個の文字を区別できるものとみなして並べる.}\ その順列の総数が\ \ \bm{5\kaizyou\ 通り.} ここで,\ \text{A}_1,\ \text{A}_2\ の並べ方は\ 2\kaizyou\,通り,\ \text{B}_1,\ \text{B}_2,\ \text{B}_3\ の並べ方は\ 3\kaizyou\ 通りある. \\ よって,\ 区別できるとみなした場合,\ 2\kaizyou\ と\ 3\kaizyou\ を余計に掛けることになる. \\ 実際は区別できないので,\ \bm{5\kaizyou\ を\ 2\kaizyou\ と\ 3\kaizyou\ で割って調整した}と考えればよい. \\[1zh] 以上のように考えると,\ 同じものの種類が増えても容易に拡張できる. \\ まず\bm{すべて区別できるものとみなして並べ,\ 後から重複度で割ればよい}のである. \\ 極めて応用性が高いこの考え方に必ず慣れておこう. 白球4個,\ 赤球3個,\ 黒球2個,\ 青球1個の並べ方は何通りあるか.$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$ただし,\ 同じ色の球は区別しないものとする.$ \\ 10個を区別できるものとみなして並べ,\ 同じものの個数の並べ方で割る. \\ 組合せで考える別解も示した. \\ まず,\ 10箇所から白球を入れる4箇所を選ぶ. \\ さらに,\ 残りの6箇所から赤球を入れる3箇所を選ぶ.\ 以下同様. \\ 複数の求め方ができることは重要だが,\ 実際に組合せで求めることはないだろう. 7文字のアルファベット\,A,\ A,\ A,\ B,\ C,\ D,\ E\,から5文字を取り出して並 \\[.2zh] \hspace{.5zw}べる方法は何通りあるか. \\ 5個選んで並べる順列だが,\ 同じ文字を何個含むかで順列の扱いが変わる. \\ 本問の場合,\ 重複度が変わるのは\text{A}のみであるから,\ \bm{\text{\textbf{A}}の個数で場合を分ける.} \\ \bm{まず条件を満たすように文字を選び,\ その後で並びを考慮する.} \\[1zh] \text{A}が1個のとき,\ 単純に5文字\text{A,\ B,\ C,\ D,\ E}の並びである. \\ \text{A}が2個のとき,\ まず\text{A}以外の3文字を4文字\text{B,\ C,\ D,\ E}から選ぶ. \\ その上で,\ \text{A}\,2個を含む5文字の並びを考える. \\ \text{A}が3個のときも同様に,\ \text{A}以外の2文字を4文字\text{B,\ C,\ D,\ E}から選ぶ. \\ その上で,\ \text{A}\,3個を含む5文字の並びを考える. 9文字のアルファベット\,\text{A,\ A,\ A,\ A,\ B,\ B,\ B,\ C,\ C}\,から4個を取り出し$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$て並べる方法は何通りあるか.$ \\ 2個が同じ文字で,\ 残りは別の文字 同じ文字を何個含むかで順列の扱いが変わるから場合分けをする. \\ 本問の場合,\ \bm{○○○○,\ ○○○△,\ ○○△△,\ ○○△□\ }のパターンがありうる. \\ \bm{まずそれぞれの文字パターンになるように選び,\ その後で並びを考慮する.} \\[1zh] ○○○△の3文字になりうるのは,\ \text{AかB}の2通りである.\ \text{C}は2文字しかない. \\ \text{○にAとB}のどちらを入れても,\ △は残り2文字の一方が入るから2通りある. \\ 4通りの組合せを全て書き出すと,\ \text{AAAB,\ AAAC,\ BBBA,\ BBBC}\ となる. \\ この4通りの組合せには,\ いずれも4通りの並び方がある. \\[1zh] ○○△△の○と△は,\ \text{A,\ B,\ C}の3種類の文字から2つを選べばよい. \\ 3通りの組合せを全て書き出すと,\ \text{AABB,\ BBCC,\ CCAA}\ となる. \\ この3通りの組み合わせには,\ いずれも6通りの並び方がある. \\[1zh] ○○△□は,\ まず○に入る文字を決める.\ ○だけが2個あり,\ 特殊だからである. \\ \text{A,\ B,\ C}いずれも○に入りうるから,\ 3通りがある. \\ ○が決まった時点で△と□が残り2種類の文字であることが確定する(1通り). \\ 3通りの組合せをすべて書き出すと,\ \text{AABC,\ BBCA,\ CCAB}\ となる. \\ この3通りの組合せには,\ いずれも12通りの並び方がある. GOUKAKUの7文字を1列に並べるとき,\ 同じ文字が隣り合わない並 \\[.2zh] 2個のUも2個のKも隣り合う並べ方} 隣り合わないのは,\ 同じ種類の2個の文字である. \\ よって,\ \bm{2個隣り合うものを総数から引く}方針で求めることができる. \\ しかし,\ \text{「2個のUが隣り合う」と「2個のKが隣り合う」}は\bm{排反ではない.} \\ 重複部分も考慮し,\ 2重に引かれないようにする必要がある. \\ \bm{ベン図}でとらえると一目瞭然である.\ 色塗り部分を求めればよいのである. \\[1zh] \bm{隣り合うものは1組にまとめて並べる}のであったの6つを別物とみて並べ,\ \ \text{K}の重複度\,2\kaizyou\,で割る. \\[.3zh] また,\ 重複部分は,\ の5つの並べ方である. \\ よって,\ 白色の部分は\ 360+360-120\ であり,\ これを総数から引けばよい. 間か両端に入れる方針で直接的に求める}}] \\[.5zh]  \textcolor{cyan}{3文字\text{G,\ O,\ A}の並べ方}は $\textcolor{red}{3\kaizyou}=6\ (通り)$ \\[.2zh]  \textcolor{cyan}{その間と両端の4箇所にU\,2個を1個ずつ入れる方法}は $\textcolor{red}{\kumiawase42}=6\ (通り)$ \\[.2zh]  \textcolor{cyan}{その間と両端の6箇所にK\,2個を1個ずつ入れる方法}は $  \textcolor{cyan}{U\,2個1組とG,\ O,\ Aの並べ方}は $\textcolor{red}{4\kaizyou}=24\ (通り)$ \\[.2zh]  \textcolor{cyan}{Uの間にKを1個入れる.} \\[.2zh]  \textcolor{cyan}{それ以外の間か両端にKを入れる方法}は 本来,\ 「隣り合わない」は,\ 他のものを並べた後,\ 間か両端に入れる方針をとる. \\ しかし,\ 本問のように2種のものがどちらも隣り合わない場合,\ 注意が必要である. \\ \bm{「間か両端に入れる」を2段階で行うと,\ 一部の場合がもれてしまう}からである. \\ よって,\ 本問は本解の解法が自然であり,\ この考え方は別解とした. \\[1zh] 次のような手順で,\ 同じ文字が隣り合わないように並べるとする. \\ \text{「GOAを並べる」→「U\,2個を間か両端に入れる」→「K\,2個を間か両端に入れる」} \\ この場合,\ 例えば\ \text{[UKUGOKA]}\ がカウントされなくなる. \\ \text{Kを入れる前に,\ [UUGOA]\ のように2個のUが並んでいる必要があるからである.} \\ このもれをなくすため,\ 次の2つに場合分けして求める. \\ \bm{「間か両端に入れるを2段階で行う」「1段階目は\text{\textbf{U}}\,2個が隣接する」} \\ この2つの場合は互いに\bm{排反}である. \\[1zh] 「間か両端に入れるを2段階で行う」場合を考える. \text{1段階目のUの入れ方6通りのいずれに対しても,\ Kの入れ方は15通りになる.} \\[1zh] 「1段階目は\text{U}\,2個が隣接する」場合を考える. その上で\text{U}が隣接しないようにするには,\ \bm{\text{\textbf{UUの間にK}}を1個入れる}必要がある. \\