個人的メモ 「以外」→「意外」

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大小2個のサイコロを投げるとき,\ 目の和が10以下になる場合は$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$\phantom{(1)}\ \ 何通りか.$ \\[1zh] \hspace{.5zw}$(2)\ \ 大中小3個のサイコロを投げるとき,\ 目の積が偶数になる場合は何$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$\phantom{(1)}\ \ 通りか.$ \\[1zh] \hspace{.5zw}$(3)\ \ 大中小3個のサイコロを投げるとき,\ 目の積が4の倍数になる場合$ \\[.2zh]  直接求めることが大変な場合の数は,\ \textbf{\textcolor{cyan}{総数から起こらない場合を引く.}} \\[.2zh] \centerline{$\bm{「\textcolor{red}{(Aである)=(全体)-(Aでない)}」}$} \\[1zh]  特に,\ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{「少なくとも1つ~」}}の場合の数の問題では必須である. \\[.2zh] \centerline{$\bm{「\textcolor{red}{(少なくとも1つはA)=(全体)-(全てAでない)}」}$} \\\\\\  (1)\ \ $出る目の総数は 6\times6=36\ (通り)$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ $\textcolor{cyan}{目の和が11}になる場合は (5,\ 6),\ (6,\ 5)の\textcolor{cyan}{2通り}$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\textcolor{cyan}{目の和が12}になる場合は (6,\ 6)の\textcolor{cyan}{1通り}$ \\[.5zh] \centerline{$\therefore \textcolor{red}{36-(2+1)}=\bm{33\ (通り)}$} 和が2~10になる場合より,\ 11,\ 12になる場合を数えるほうが明らかに速い. \\ よって,\ 総数から目の和が11,\ 12になる場合を引く. \\[1zh] 総数は積の法則で求まる. \\ 一方のサイコロ6通りのおのおのに対して,\ 他方も6通りあるからである. \\ 目の和が11になる場合と12になる場合は明らかに排反である. \\ よって,\ 各場合をそれぞれ書き出して求め,\ 足せばよい(和の法則). \\ これを総数から引けば,\ 目の和が10以下になる場合が求まる. \\[1zh] 本問は,\ いざとなれば36通りを表で書き出せば求まる. \\ 演習では,\ 楽な方法だけでなく,\ 直接的に泥臭く求めてみることも重要である. \\ 複数の方法で求めることができるようにしておくと実戦で役立つ. 積が偶数になるのは,\ \textcolor{red}{少なくとも1つの目が偶数}になる場合である. \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ $出る目の総数は 6\times6\times6=216\ (通り)$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\textcolor{cyan}{すべて奇数}の目が出る場合の数は 3\times3\times3=\textcolor{cyan}{27}\ (通り)$ \\[.5zh] \centerline{$\therefore \textcolor{red}{216-27}=\bm{189\ (通り)}$} 「3つの積が偶数」は,\ \bm{「少なくとも1つが偶数」}に言い換えることができる. \\ よって,\ \bm{総数から「すべてが奇数」の場合を引いて求める}ほうが楽である. \\[1zh] 実際,\ 区別できる3つのサイコロの偶奇の組は,\ 次の8通りが考えられる. すべて奇数の\bm{(奇,\ 奇,\ 奇)以外は積が偶数}であり,\ 明らかに引いたほうが速い. \\[1zh] 1つのサイコロにつき,\ 奇数の目は1,\ 3,\ 5の3通りがある. \\ 大サイコロ3通りの3通りのおのおのに対して,\ 中サイコロが3通りある. \\ よって,\ 3\times3=9通りで,\ さらにそのおのおのに対して小サイコロ3通りがある. \\ ゆえに,\ すべて奇数の目が出る場合の数は,\ 3\times3\times3=27通りである. \\[1zh] 直接的に,\ (奇,\ 奇,\ 奇)以外の7通りの偶奇の組をすべて求めてもよい. \\ ここで,\ 偶数の目は2,\ 4,\ 6の3通りである. \\ よって,\ 偶奇の組7通りはそれぞれが3\times3\times3=27通りある. \\ \bm{偶も奇も3通りあるから,\ 偶奇の組合わせによらず,\ 27通りずつになる}のである. \\ それゆえ,\ 以外に簡単に求まる.  \bm{27\times7=189\ (通り)} 解答は簡潔に記述できるが,\ ここまでに至る思考過程は容易ではない. \\ まず,\ 積が4の倍数となる条件を考える. \\ \bm{少なくとも1つが4}であれば,\ それだけで4の倍数が確定する. \\ また,\ \bm{少なくとも2つが偶数}であっても,\ 4の倍数となる. \\ 「少なくとも~」があるから,\ \bm{補集合の利用}が思い浮かぶ. \\[1zh] \bm{積が4の倍数でない場合の数}を求める. \\ 「少なくとも1つが4」「少なくとも2つが偶数」を単純に否定してみる. \\ 「すべて4でない」「偶数が0個か1個」となるが,\ これは\bm{排反ではない.} \\ 例えば,\ (1,\ 3,\ 5)は両方に当てはまる.\ \bm{可能な限り排反に場合分けすべき}である. \\[1zh] 場合の数では,\ \bm{条件が強いものや特殊なものに着目して場合を分ける}とよい. \\ また,\ 本問のように複雑になると,\ 一気に場合分けするのは難しい. \\ 樹形図で順に枝分かれさせていったように,\ \bm{段階を踏んで順に場合分け}していく. \\[1zh] 本問では,\ 「すべて4でない(4は1つも駄目)」という4に関する強い条件がある. \\ よって,\ 一旦\bm{4の個数に着目して場合分け}する. \\ つまり,\ 4を含む場合と含まない場合に分ける.\ これは排反な場合分けになる. \\ 4を1つでも含む場合は,\ 条件「積が4の倍数でない」を満たさないので排除する. \\[1zh] 以下,\ \bm{4を1つも含まない場合}をさらに掘り下げて考える. \\ 4以外の偶数2,\ 6が2つ以上あれば4の倍数になるから,\ これも排除する. \\ 2段階の排反な場合分けにより,\ 積が4の倍数にならないのは次の場合とわかる. \\ \bm{「4を1つも含まない前提で,\ 偶数2,\ 6を含まない\ または\ 偶数2,\ 6が1つ」} \\ 「4を含まず,\ 2,\ 6を含まない」は,\ 結局「すべてが奇数」である. \\ 「4を含まず,\ 2,\ 6が1つ」は,\ 結局「2つが奇数で,\ 1つが2か6」である. \\[1zh] 以上の場合分けは,\ 構造的には次のようになっている.\ すべて排反である. 4を1つ以上含む × \\ 4を1つも含まない 2,\ 6がない(奇数3つ) ○ \\ 2,\ 6が1つ(奇数2つ) ○ \\ 2,\ 6が2つ以上(奇数1つ以下) × 一気に場合分けするのは難しいが,\ \bm{2段階踏むことで排反な場合分けが可能になる.} \\[1zh] これだけ思考してようやく計算に入ることができる.\ (奇,\ 奇,\ 奇)は27通りである. \\ 「2つが奇数で,\ 1つが2か6」のときの場合の数を考える. \\ (大,\ 中,\ 小)=(奇,\ 奇,\ 2か6)とすると,\ 3\times3\times2=18通りである. \\ しかし,\ これで終わってはいけない.\ \bm{3つのサイコロが区別できる}からである. \\ よって,\ (奇,\ 2か6,\ 奇),\ (2か6,\ 奇,\ 奇)\ の場合も考慮する必要がある. \\ 3つの組合せのいずれも18通りずつあるから,\ これを3倍して54通りと求まる. \\ 直接的に求める(4の個数で場合分け) 直接求める場合も,\ \bm{排反な場合分けがポイント}になる. \\ 本解と同様の思考で,\ 一旦\bm{4の個数で場合分け}することが思い浮かぶ. \\ 「4が1個以上」または「偶数が2個以上」とすると排反にならないので注意する. \\ 4が0個のとき,\ さらに2,\ 6の個数で場合分けすると,\ 排反な5つの場合になる. \\ 直接的に求める(偶数の個数で場合分け2つが偶数で,\ 1つが奇数}の場合は 実は,\ 気付きさえすれば,\ \bm{偶数の個数に着目する}のが最も楽である. \\ 偶数3個,\ 偶数2個(奇数1個)ならば,\ 積が4の倍数になる. \\ また,\ 偶数が1個であっても,\ その1個が4のときは,\ 積が4の倍数になる. \\ この\bm{3つの場合は排反}であるから,\ それぞれの場合を求めて足せばよい. \\ 偶数2個(奇数1個)の場合は\ \, (偶,\ 偶,\ 奇),\ (偶,\ 奇,\ 偶),\ (奇,\ 偶,\ 偶)\ \\ 1個が4で2個が奇数の場合は (4,\ 奇,\ 奇),\ (奇,\ 4,\ 奇),\ (奇,\ 奇,\ 4)