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4桁の整数の千の位,\ 百の位,\ 十の位,\ 一の位をそれぞれa,\ b,\ c,\ dと$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$するとき,\ 次の条件を満たす4桁の整数は何個あるか.$ \\[1zh] 0から10の11個の整数から異なる4個を選べばよい.} \\[.5zh] 0から11の12個の整数から異なる4個を選べばよい.} \\[.5zh] (1)\ \ \bm{まず4個の整数を選び,\ その後で並べる.} \\ \phantom{(1)}\ \ 0~9の10個の整数から4個選べばよいから,\ \kumiawase{10}{4}\ 通りある. \\ \phantom{(1)}\ \ 例として,\ 0,\ 2,\ 7,\ 9を選んだとする. \\ \phantom{(1)}\ \ 条件を満たすような並びは,\ 9720ただ1つである. \\ \phantom{(1)}\ \ つまり,\ この条件は,\ 選びさえすれば並び方は1通りしかない. \\ \phantom{(1)}\ \ よって,\ \bm{ただ選ぶだけ}で答えが求まる.\ 結局,\ \bm{組合わせに帰着}するのである. \\[1zh] (2)\ \ 4個の整数の中に\bm{1つでも0があるとa=0}となり,\ 4桁の整数ではなくなる. \\ \phantom{(1)}\ \ よって,\ 0以外の整数1~9から4個選ぶことになる. \\[1zh] (3)\ \ 同じ数字を重複して選んでもよいため,\ \bm{重複組合せに帰着}する. \\ \phantom{(1)}\ \ 本問は,\ 異なる10種類から重複を許して4個選ぶ重複組合せである. \\ \phantom{(1)}\ \ よって,\ 公式\ \kumiawase{n+r-1}{r}\ を用いると,\ \kumiawase{13}{4}\,となる. \\ \phantom{(1)}\ \ 公式の意味は○4個と|\ 9本の並びだが,\ 対応関係がとらえにくい. \\ \phantom{(1)}\ \  \rei\ \ ||○○||||○|||○ → (2,\ 2,\ 6,\ 9)  0|1|2|\cdots|8|9\ と考えている. \\ \phantom{(1)}\ \ 公式を覚えておき,\ 機械的にあてはめるのがよいだろう. \\ \phantom{(1)}\ \ \bm{a=b=c=d=0\ のときのみ4桁の整数にならない}ので,\ これを除外する. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 応用性を考えると,\ \bm{同値変形}による別解が非常に重要である. \\ \phantom{(1)}\ \ \bm{a,\ bが整数であるとき,が成立する.} \\ \phantom{(1)}\ \ 等号をなくすこの同値変形により,\ (1)の組合せに帰着させる. \\ \phantom{(1)}\ \ a,\ b,\ c,\ dは0~9の整数であるから,\ 条件は\ 9\geqq a\geqq b\geqq c\geqq d\geqq0\ である. \\ \phantom{(1)}\ \ まず,\ c\geqq d\ より, \phantom{(1)}\ \ ここで,\ \bm{a,\ b,\ cとa’,\ b’,\ c’\,は1対1に対応}している. \\ \phantom{(1)}\ \ よって,\ a’,\ b’,\ c’,\ dの組合せを考慮すればよく,\ (1)と同じである. \\[1zh] (4)\ \ (3)の別解のように同値変形すれば,\ 容易に(1)の組合せに帰着する. \\ \phantom{(1)}\ \ (3)は重複組合せが有利だったが,\ (4)は同値変形が有利であり,\ 本解とした. \\ が混在しているならば,\ 通常は\bm{場合分け}をする. \\ \phantom{(1)}\ \ 一般に,\ a\geqq b\ は,,が同時に起こるはずはないから,\ この2つの場合は\bm{排反}である. \\ ,のときは,\ 0~9の10個の整数から3個選ぶことになる. \\[1zh] (5)\ \ \geqq が多くなるほど場合分けが面倒になり,\ 同値変形の強力さが際立ってくる. \\ \phantom{(1)}\ \ \ \bm{\geqq が1つにつき,\ 2つに場合分けする}必要がある. \\ \phantom{(1)}\ \ よって,\ \geqq が2つある本問では,\ 2\times2=4つに場合分けすることになる. \\ \phantom{(1)}\ \ 仮に(3)を同様に場合分けしようとすると,\ 2^4=16の場合分けを要する. \\ \phantom{(1)}\ \ \text{(\hspace{.13zw}i\hspace{.13zw}),\ (ii),\ \scalebox{.7}[1]{(iii)}\,は(4)と同様である.} \\ \phantom{(1)}\ \ \text{\scalebox{.8}[1]{(iv)}}\,は,\ 0~9の10個の整数から2個選べばよい.