ベクトルの外積(裏技)による法線ベクトル・空間の三角形の面積・平行六面体の体積・四面体の体積

ベクトルの外積は受験数学最強の裏技の1つであり,\ 上級者は是非習得しておいてほしい.
大学1年の最初に学習する程度の知識であり,\ 適用できる試験問題が結構多い.
保証はできないが,\ 記述試験で使用した際の減点リスクも低い.
外積の定義
平行でない2つのベクトル$a,\ b\ のなす角を\ θ\ (0θ π)\ とする.$
以下の2つの性質をもつベクトルを${a\ と\ bの外積$といい,\ ${ab$と表す
両方に垂直で,から\ b\ に右ねじを回したときに進む向き.$
外積の図形的意味
のその他の性質
$[3]$内積がスカラー量}なのに対し,\ 外積はベクトル量である. \ b}$が張る平行四辺形の面積に等しい.
に右ねじを回したときに進む向き}である. \
[3]}内積をスカラー積,\ 外積を{ベクトル積}ともいう.
\ の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ.$
外積の成分表示に代入すると,\ {aとbに垂直なベクトルの1つ}が求まる.
単位ベクトル(大きさ1のベクトル)にするには,\ 各成分を大きさで割ればよい.
つまり{4²+(-4)²+4²}=43\ で割る.\ 逆向きのベクトルも考慮し,\ で答える.
空間の三角形の面積・平行六面体の体積・四面体の体積}空間の三角形の面積
}(平行四辺形{OADB}の面積)=ab}\ の半分が三角形の面積である.
}c\ と\ ab\ のなす角を\ α\ とすると (平行六面体の高さ)=c}cosα
よって (平行六面体の体積)=(底面積{OADB})(高さ)=ab}c}cosα
これは,\ 内積の定義\
内積が負となる場合を考慮して絶対値がつけてある.
内積はスカラー量であることから,\ {スカラー三重積}と呼ばれている.
[3]}四面体の底面積は,\ 平行六面体の底面積の\ 12\ である.
(三角錐)=(底面積)(高さ)13\ より,\ (四面体の体積)=(平行六面体の体積)16\ となる.
高校範囲で4点の座標から四面体の体積を求めるには,\ かなり面倒な計算が必要であった.
そのことは,\ 前項までに示してきた通りである.
外積を利用すると,\ 以下のようにあっさりと求めることができる.
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