空間の点と平面の距離の公式の証明、平行な2平面の距離

ten-heimen-kyori
平面$α$の方程式を$ax+by+cz+d=0$とする. また,\ 平面外の点A$(x₁,\ y₁,\ z₁)$から平面$α$に下ろした垂線の足をH$(s,\ t,\ u)$とする. $   $これは,\ 点Aが平面$α$上にあるときも成り立つ. ${点(x₁,\ y₁,\ z₁)と平面ax+by+cz+d=0の距離$} {AH}の長さ,\ すなわち\ AH\ を求めることが目標である. まず,\ {AH}が平面αの法線ベクトルnと平行}であることに着目する. 平面の方程式ax+by+cz+d=0から,\ 法線ベクトルn=(a,\ b,\ c)が直ちにわかる. 平行なのであるから,\ AH}はnの実数倍で表せる. そして,\ それぞれを成分表示にすることで,\ {H}の座標(s,\ t,\ u)を表すことができる. さらに,\ 点 Hが平面α上にあるための条件と連立してkが定まる. a=b=c=0のときax+by+cz+d=0は意味をもたないから,\ a²+b²+c²0である. AH\ を求める.\ -k}=k}\ であり,\ また,\ 分母は\ a²+b²+c²>0\ より絶対値ははずせる. 点 Aが平面α上にあるとき\ ax₁+by₁+cz₁+d=0が成立するから,\ AH=0\ である. 点と平面の距離の公式は極めて便利であるが,\ 記述試験で無断使用が可能かは微妙である. 状況をよく考えて使用することや公式を証明できるようにしておくことが重要である. {座標空間の点と平面の距離の公式は,\ 座標平面の点と直線の距離の公式の拡張である. 実際,\ 全く同じ流れで点と直線の距離の公式も導かれる. 直線$l$の方程式を$ax+by+c=0$とする. また,\ 直線外の点A$(x₁,\ y₁)$から直線$l$に下ろした垂線の足をH$(s,\ t)$とする.$k:実数$)とおける. $   $これは,\ 点Aが直線$l$上にあるときも成り立つ. ${点(x₁,\ y₁)と直線ax+by+c=0の距離$} 点$(1,\ -2,\ 3)$と平面$3x+2y-z+1=0$の距離を求めよ. 平行な2平面$x-3y+4z-2=0$と$x-3y+4z+5=0$の距離を求めよ. 3点$(2,\ 0,\ 0),\ (0,\ 3,\ 0),\ (0,\ 0,\ 4)$を通る平面と原点の距離を求めよ. 法線ベクトルが等しい2つの平面は平行である. 平行な2平面の距離は,\ {一方の平面上の任意の点と他方の平面との距離}を求めれば済む. 係数が大きいyとzを0とするとx=2となるから,\ 点(2,\ 0,\ 0)が平面上にあるとわかる. 後はこの点ともう一方の平面との距離を求めればよい. 空間ベクトル分野の基本パターン問題だが,\ ベクトルで求めようとするとそこそこ面倒である. しかし,\ 平面の方程式と点と平面の距離の公式を利用すると非常に簡潔に済む. 座標軸上の3点であるから,\ {平面の方程式の切片形}を適用した後,\ 原点との距離を求める. \ 3点(p,\ 0,\ 0),\ (0,\ q,\ 0),\ (0,\ 0,\ r)を通る平面の方程式は  xp+ yq+ zr=1
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