共面条件(4点が同一平面上にある条件)(空間ベクトル最重要事項)

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共面条件は,\ 平面ベクトルにはない空間ベクトル特有の条件である.
だからこそ空間ベクトルの試験での出題率が非常に高く,\ 空間ベクトル最重要事項である.
始点を平面外の点Oとするか平面上の点Aなどとするかで大きく2通りの表現がある.
以下,\ 3点A,\ B,\ Cは一直線上にはない}ものとする. ₀
2点{A,\ B}を通る直線のベクトル方程式は OP}=sOA}+tOB}(s+t=1)
これは,\ 共線条件({A,\ B,\ P}が一直線上にある条件)とみなすこともできるのであった.
は,\ {3点{A,\ B,\ C}を通る平面のベクトル方程式}である.
これは,\ {共面条件(4点{A,\ B,\ C,\ P}が同一平面上にある条件)}とみなすこともできる.
空間ベクトルの問題では,\ とのうちこちらを利用することの方が多い.
この条件は,\ 3変数の扱いが面倒であったり,\ s+t+u=1を忘れたりすることがある.
これを避けるため,\ あらかじめuを消去した次の形で使うこともできる.
{OP}=sOA}+tOB}+(1-s-t)OC (記述はやや面倒になる) となる実数s,\ tがある$
$[l}
点{P}が点{A,\ B,\ C}と同一平面上にあるならば,\ それは結局平面だけの話である.
平面では,\ a0,\ b0,\ ab\ のとき,\ p=sa+tb\ の形にただ1通りに表せるのであった.
よって,\ 点{P}が\ AB}\ と\ AC}\ で張られる平面上にあるとき,\ が成立する.
実は,\ はから導かれる.\ の始点を{O}に変更したのがである. となる実数s,\ tがある$ }
[3]は,\ とを組み合わせた表現である.
自分で立式するときに用いることは少ないが,\ 問題でこの表現が用いられていることが意外と多い.
この表現を見かけたとき,\ {点Pが平面ABC上にある}ことを意味していることに気付いてほしい.
座標は,\ {原点{O}を始点とする位置ベクトルの成分}と見なすことができるのであった.
つまり,\ 点{A}(1,\ 0,\ -1)は,\ OA}=(1,\ 0,\ -1)\ と同じことである.
ゆえに,\ 座標が与えられている問題では,\ 原点{O}を始点として考えるのが基本になる.
念のため,\ 3点{A,\ B,\ C}が一直線上にないことを確認した上で,\ 共面条件を立式する.
3点{A,\ B,\ C}が一直線上にある条件は,\ AC}=kAB}\ を満たす実数kが存在することである.
AC}=(1,\ 4,\ 2),\ AB}=(2,\ 1,\ 1)であるから,\ AC}=kAB}を満たす実数kは存在しない.
本問では,\ OP}=sOA}+tOB}+uOC}\ (*)\ を用いると4変数になってしまう.
そこで,\ 解答ではあらかじめuを消去した形を用いることにした.
条件を全て成分で表せば,\ 後は連立方程式を解くだけである.
(*)を用いた場合,\ x=s+3t+2u,\ 8=t+4u,\ 1=-s+u,\ s+t+u=1を解くことになる.
空間では,\ 成分を縦に書くと見やすくなるのでオススメ(大学ではこれが普通).
別解は,\ の表現を用いたものである.
解答は一見簡潔だが,\ 実際には以下の計算が必要である.
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