ベクトルによる四面体の有名性質の証明

四面体ABCDにおいて,\ 辺AB,\ BC,\ CD,\ DAの中点をE,\ F,\ G, Hとする.}
また,\ 線分EGと線分FHの交点をP,\ $$BCDの重心をQとする.
 四角形EFGHが平行四辺形となることを示せ.
 3点A,\ P,\ Qが一直線上にあることを示せ.
 辺AC,\ BD上に任意の点S,\ Tをとるとき,\ 線分STの中点Uが平面EFGH
{ }上にあることを示せ.
四面体の有名性質の証明
一般に,\ 平行四辺形であるための条件の1つは,\ {「1組の対辺が平行かつ長さが等しい」}である.
ベクトルが向きと大きさを合わせ持つ量であることを利用すると,\ この条件を簡潔に表現できる.
つまり,\ {EFGH}が平行四辺形であるための条件は,\ {EF}=HGと表現できる.
ベクトルが等しいということは,\ 向きも大きさも等しいということになるからである.
なお,\ EF}=GH}ではないので注意してほしい.
任意の点{O}を始点とする本解と,\ 頂点{A}を始点とする別解を示した.
本質的に同じだが,\ 通常は頂点を始点とする方が簡潔に済む.
四面体{ABCD}を表すための位置ベクトルは,\ 頂点を始点とした方が少なくて済むからである.
{O}を始点とした場合,\ {A(a),\ B(b),\ C(c),\ D(d)の{4つの位置ベクトルが基準}となる.}
{A}を始点とした場合,\ AB},\ AC},\ AD}\ の{3つの位置ベクトルが基準}となる.
次に,\ 他の主要な全ての点の位置ベクトルを基準のベクトルで表す.
後は最終目標\ EF}=HG}\ を目指し,\ 始点を統一して機械的に計算していけばよい.
ベクトルを利用することで,\ 特別な発想やひらめきがなくとも証明できるわけである.
}]$
四角形EFGHは平行四辺形であるから,\ 2本の対角線は中点で交わる
「{AQ}=kAP}\ となる実数kが存在する}」が,\ {A,\ P,\ Q}が一直線上にある条件である.
と同様に,\ この最終目標に向かって機械的に計算していくだけである.
点{P}の位置ベクトルは,\ 線分{EG}の中点として求めている.\ 当然,\ 線分FH}の中点と考えてもよい.
三角形の重心の位置ベクトルは,\ 平面と同様,\ 3頂点の位置ベクトルを足して3で割ったものである.
さて,{p={a+b+c+d}{4}で表される点(4点の平均となる点)が四面体{ABCD}の重心}である.
ここで,\ AQ}=43AP}\ より,\ {AP:PQ}=3:1\ である.
よって,\ {四面体の重心は頂点と底面の重心を結ぶ線分を3:1に内分する点}である.
三角形の重心が頂点と底辺の中点を結ぶ線分(中線)を2:1に内分する点であることと対比し覚える.
また,\ 正三角形ならば重心・外心・内心が一致するのであった.
同様に,\ 正四面体ならば重心・外接球の中心・内接球の中心が一致する.
とにかく,\ 何を示せば良いのかを最初に認識しておくことが重要である.
{点Pが3点A,\ B,\ Cと同一平面上にあるための条件(共面条件)は,\ 以下のように表現できた.}
{AP}=sAB}+tAC}\ となる実数s,\ tが存在する}
{OP}=sOA}+tOB}+uOC}\ (s+t+u=1)\ となる実数s,\ t,\ uが存在する}
またはの形を導くことが目標である.
本問の場合,\ EU}=sEF}+tEH}\ または\ AU}=sAE}+tAF}+uAH}\ (s+t+u=1)\ を導くことになる.
{点Uの位置ベクトルを求めるため,\ まずは2点S,\ Tの位置ベクトルを表す.}
{AC,BD上の点S,T}は,\ {共線条件(3点が一直線上にある条件)}により表現できる(始点はA}とした).
AU}を求め,\ さらにEU},\ EF},\ EH}の始点をA}にすると,\ EU}=sEF}+tEH}が成立しているとわかる.
なお,\ EF}はですでに求めている.
AU}を無理矢理AE}=12AB},\ AF}={AB}+AC{2},\ AH}=12AD}の形に変形してもよい(別解).
{AB}+AC{2}の形を作り出すため,\ {-12sAB}+12sAB}を挿入する}とうまく辻褄があう.
1-t-s=uとすると,\ AU}=uAE}+sAF}+tAH}\ (s+t+u=1)\ である.
多少無理矢理な変形でも,\ 必ずこの形にできるはずという見通しができていれば難しくはない.
}四面体ABCDにおいて${AB⊥ CD}$であるとき,\ ${AC²+BD²=AD²+BC²}$が成り立
つことを示せ.
ベクトルを用いると,\ 始点を統一して計算するだけであっさりと証明できる.
ベクトルで垂直ときたら内積0である.\ 始点を\text Aに統一すると,\ 条件はAB}AD}=AB}AC}となる.
{AC²+BD²=AD²+BC²}をベクトルで表現するとAC²+BD²=AD²+BC²である.
条件AB}AD}=AB}AC}の下でこれを示せばよい.
始点を\text Aに統一して展開するだけで示すことができる.
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