平行六面体と空間ベクトルの演算

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平行六面体ABCD$-$EFGHにおいて,\ $AB}=b,\ AD}=d,\ AE}=e\ とする.\ $
また,\ 辺GHを$2:1$に内分する点をMとする.
向かい合う3組の面が平行である六面体を{平行六面体}という.
まず,\ 平行六面体の図を描く必要がある.
最初に,\ 2つの平行四辺形{ABCDとEFGH}を少しずらして描く.
次に,\ 辺{AE,\ BF,\ CG,\ DH}を描いてつなげるとよい.
平面では,\ 任意のベクトルを1次独立な2つのベクトルの線形結合sa+tbの形で表せた.
空間では,\ 任意のベクトルを1次独立な3つのベクトルの線形結合sa+tb+ucの形で表せる.
本問では1次独立な3つのベクトルがb,\ d,\ eであり,\ 平行六面体なので次を利用することになる.
AG}\ は,\ 単に{AからG}まで辿ればよい.
AC}\ は\ b\ と\ d\ が作る平行四辺形の対角線なので,\ b+d\ である.
平面では,\ 2つのベクトルの和は平行四辺形の対角線のベクトルとなるのであった.
空間では,\ 3つのベクトルの和は平行六面体の対角線のベクトルとなることがわかる.
本問のように対称性が高い図形ならば,\ 始点から終点まで辿るほうが楽である.
しかし,\ 応用性を考え,\ CE}とMB}は{始点を統一}する方法を本解とした.
問題の設定は,\ {「始点を{A}に統一せよ」}と示唆している.
ベクトルは{差に分解}することにより,\ 任意の始点に変更できるのであった. {□△}=A△}-A□
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