空間における平面の方程式 ax+by+cz+d=0

space-plane

1点と法線ベクトルが与えられると,\ 1つの平面が定まる.
このことに基づいて空間における平面の方程式を作成しよう.
1点をA($a$),\ 法線ベクトルを$n$,\ 平面上の任意の点をP($p$)とすると
に空間の座標や成分を代入すると,\ 空間における平面の方程式}が得られる.
$-ax₀-by₀-cz₀\ は定数であるから,\ これをまとめてdとおくと$
を法線ベクトルにもつ平面の方程式の一般形(座標空間)$} \ を法線ベクトルにもつ平面の方程式$}
学習済みである次との関連にも留意しておいてほしい.
に平面の座標や成分を代入すると,\ 平面における直線の方程式}が得られる.
$-ax₀-by₀\ は定数であるから,\ これをまとめてcとおくとを法線ベクトルにもつ直線の方程式の一般形(座標平面)$}
平面における直線の方程式は,\ 切片形なる形に変形できた.
${x}$軸上の点${(p,\ 0)}$と${y}$軸上の点${(0,\ q)}$を通る直線の方程式(切片形)
同様に,\ 空間における平面の方程式も切片形に変形できる.
一般に,\ 一直線上にない3点が与えられると,\ 1つの平面が定まる.
平面が$x軸上の点(p,\ 0,\ 0),y軸上の点(0,\ q,\ 0),z軸上の点(0,\ 0,\ r)$を通る}とき \は意味をもたない)座標軸上の3点(p,\ 0,\ 0),\ (0,\ q,\ 0),\ (0,\ 0,\ r)を通る平面の方程式(切片形)
以下の条件を満たす平面の方程式を求めよ.
 点A$(2,\ 3,\ -1)$を通り,\ $n=(4,\ -1,\ 3)$に垂直.
 点A$(-1,\ 4,\ 2)$を通り,\ $n=(0,\ 1,\ 0)$に垂直.
 3点A$(1,\ 3,\ 1)$,\ 点B$(2,\ -3,\ 0)$,\ 点C$(-2,\ -3,\ -2)$を通る.
 点A$(2,\ -4,\ -1)$を通り,\ 直線$l:{x-4}{2}={y+3}{-1}=z-1$を含む.
 点A$(-4,\ 0,\ 1)$を通り,\ 直線$m:{x+3}{5}={y-2}{-1}={z-3}{2}$に垂直.
$直線l上には
{  }よって,\ 平面の方程式を
求める平面の法線ベクトルは
,\ 1点と法線ベクトルが既知なので,\ a(x-x₀)+b(y-y₀)+c(z-z₀)=0\ に代入する.
{3点が与えられた場合,\ 平面の方程式の一般形ax+by+cz+d=0に代入する.}
ここで,\ 4つの未知数に対して式が3つしかないので完全に特定することはできない.
しかし,\ {必要なのはa,\ b,\ c,\ dの比}であり,\ 完全に値を特定する必要はない.
例えば,\ x+2y+3z+4=0と2x+4y+6z+8=0は同じ式である.
比を求めることは,\ {a,\ b,\ c,\ dをどれか1つの文字で表す}ことである.
闇雲に連立していると訳がわからなくなるので,\ 残す文字と消す文字を意識して変形する.
本問では,\ よりcをaで簡潔に表せたので,\ b,\ dもaで表すことにした.
後は,\ ax+12ay-2az+12a=0\ の両辺に\ 2a\ を掛ければよい.
{直線mの方向ベクトル(5,\ -1,\ 2)が求める平面の法線ベクトル}である.
{点A,\ B,\ Cはそれぞれx,\ y,\ z軸上の点であるから,\ 公式\ xp+ yq+ zr=1\ を利用する.}
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