平面と直線の交点の位置ベクトル(空間ベクトル最重要問題)

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四面体OABCにおいて,\ $OA}=a,\ OB}=b,\ OC}=c\ とする.$
辺ABの中点をL,\ 辺BCを$3:2$に内分する点をM,\ 線分AMと線分CLの交点を
Pとするとき,\ OP}\ をa,\ b,\ c\ を用いて表せ.
辺OCの中点をN,\ 平面ABNと線分OPの交点をQとするとき, OQ}を
a,\ b,\ cを用いて表せ.
直線CQと平面OABの交点をRとするとき,\ OR}をa,\ b,\ c用いて表せ.
平面と直線の交点の位置ベクトル
平面ベクトルと同様に,\ {交点の位置ベクトルは2通りに表して係数を比較するのが基本}である.
{Pは線分AM上の点であり,\ かつ線分CL上の点であるから,\ この2条件を数式で表現すればよい.}
{係数の和が1となるよう比を設定}し,\ 内分点の位置ベクトルの公式で\ OP}\ を表すのであった.
さらに,\ 全てのベクトルを\ a,\ b,\ c\ で表した後,\ 係数を比較する.
このとき,\ 必ず{下線部の断りを記述}しなければならない.
次は,\ {4点{O,\ A,\ B,\ C}が同一平面上にないときに成立する(係数比較できる)}からである.
{「sa+tb+uc=s’a+t’b+u’cs=s’,\ t=t’,\ u=u’」}
下線部は,\ {「a,\ b,\ c\ が1次独立であるから」}と記述してもよい.
なお,\ 平面では「a0,\ b0,\ ab」と記述できたが,\ {空間では以下の記述は不可}である.
4点{O,\ A,\ B,\ C}が同一平面上にある場合でもこれが成立しうるからである.
実際,\ 平面上に零ベクトルでも互いに平行でもない3ベクトル\ a,\ b,\ c\ をとることができる.
空間ベクトルの最重要問題「平面と直線の交点の位置ベクトル」である.
ここでも基本的なのは,\ 別解の{2通りに表して係数を比較}する解法である.
{点Qが直線OP上にある条件と平面ABN上にある条件を数式で表現した後,\ 係数比較する.}
4変数連立方程式は,\ s=27k,t=27k,u=67kをs+t+u=1に代入してまずkを求めるとよい.
ちなみに,\ OQ}={7}{10}OP}\ より,\ OQ:QP=7:3であることがわかる.
さて,\ 別解は基本的ではあるが回りくどいので{非推奨}である.
本解では,\ まず直線{OP}上の点であるための条件を立式し,\ これを無理矢理ON}を用いて表す.
すると,\ 後は{(係数の和)=1}とするだけで済むのである.
本質的には同じだが,\ 計算量が少なく簡潔で応用性も高いため,\ 是非習得してほしい解法である.
点{R}は,\ 線分{CQ}の延長線上にある.
よって,\ 始点が{O}のとき,\ {OR}=OC}+CR}=OC}+kCQ\ と表すことができる.
また,\ 始点が{O}ならば,\ 点{R}が平面{OAB}上にある条件は {OR}=sOA}+tOB}=sa+tb}
OC}+kCQ}=15ka+15kb+(1-{7}{10}k)cとsa+tbを係数比較して\ OR}\ を求めてもよい.
ただし,\ 平面OAB}上の点ということは,\ 言い換えるとcの成分を持たない}ということである.
このことを利用すると,\ 解答のように簡潔に済む.
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