空間における直線と平面の方程式(座標軸に垂直)

line-plane

座標空間において方程式を扱うときに注意すべきことがある.
それは,\ 同じ式でも座標平面と座標空間では別の図形を表すことである.
例えば,\ $x=1$という式はどのような図形を表すだろうか.
数直線(1次元)ならば,\ ${x=1$は1点を表す.
また,\ 座標平面(2次元)ならば,\ ${x=1$は直線を表す.
これを空間にまで拡張して座標空間(3次元)になると,\ ${x=1$は平面を表すようになる.
数学的には,\ 図形は条件を満たす点の集合である.
そして,\ 座標空間における図形は点$(x,\ y,\ z)$の集合である.
$x=1$ならば,\ $x$座標が1という制限のみで,\ $y$座標と$z$座標の制限は何もない.
よって,\ 点${(x,\ y,\ z)=(1,\ 自由,\ 自由)}$の集合が座標空間の$x=1$が表す図形である.
すなわち,\ ${x}$座標が1で,\ ${yz}$平面に平行(${x}$軸に垂直)な平面というわけである.
では,\ 座標空間において直線を表すにはどうすればよいだろうか.
$xy$平面内の直線$x=1$を表したければ,\ ${x=1\ かつ\ z=0$とする必要がある.
これは,\ 直線が平面${x=1}$と平面${z=0}$の交線であることを意味している.
座標空間における直線は,\ 2つの平面の交線として表現できるのである.
同じ式が座標平面と座標空間で別の図形を表すのは,\ 直線に限った話ではない.
例えば,\ $x²+y²=1$は座標空間では円柱面を表す($z$座標は自由だから).
$xy$平面内の円を表したければ,\ 座標空間では${x²+y²=1\ かつ\ z=0$とする必要がある.
円柱面$x²+y²=1$と平面$z=0$の交線が円というわけである
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