平面に関する対称点の位置ベクトル

座標空間上に4点A(1,\ 1,\ 0),\ B(1,\ 0,\ 1),\ C(0,\ 1,\ 1),\ P(0,\ 3,\ 5)がある.\ 3点A,\ B,\ Cを
通る平面に関して点Pと対称な点をQとするとき,\ 点Qの座標を求めよ.
平面に関する対称点の位置ベクトル
点Pから平面ABCに下ろした垂線の足をHとする.
点Hは平面ABC上の点であるから,\ 始点を原点Oとし,\ $s,\ t$を実数とすると
座標平面において直線に関する対称点を求める問題があったが,\ それの空間版である.
座標が与えられているので,\ 原点{O}を始点として考える.
点{Q}の座標を求めることは,\ OQ}\ の成分を求めることに等しい.
横に書くとわかりづらいので,\ 成分を縦で表記している.
さて,\ {点Pと点Qが平面ABCに関して対称であるためには次の2条件が必要である.}
{「線分{PQと平面ABCが垂直}」「{線分PQの中点が平面ABC上にある}」}
どのような解法をとるにせよ,\ 本質的にはこの2つの条件の扱いがポイントになる.
ここでは,\ {PH}\ の成分を求め,\ それを2倍して\ PQ}\ とする}という最も自然な解法を示した.
PH}\ の成分は,\ {点Hが平面ABC上にあることと直線PHが平面ABC}と垂直であることから求まる.
直線と平面の垂直条件は,\ {直線が平面上の任意の2直線と垂直をなす(内積0になる)}ことであった.
後は,\ {原点Oから点Pを経由して点Qまで辿ればよい.}
なお,\ OH}=(-2,\ 1,\ 3)より,\ 点{H}の座標は{H}(-2,\ 1,\ 3)であり,\ PQ}の中点になっている.
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