2つのベクトルに垂直な単位ベクトル

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2つのベクトル$a=(1,\ -1,\ 2)$と$b=(2,\ -1,\ 1)$の両方に垂直な単位ベクトル$e$
2つのベクトルに垂直な単位ベクトル
成分を文字でおき,\ 垂直条件と単位ベクトル(大きさ1)の条件を立式する.
当然,\ 垂直条件は内積0である.
空間ベクトルでは,\ a=(a₁,\ a₂,\ a₃),\ b=(b₁,\ b₂,\ b₃)のとき\ ab=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃\ である.
また,\ a}=a₁}²+{a₂}²+{a₃}²}\ である.\ 根号が鬱陶しいので,\ e}²=1\ と考えて立式する.
後は単なる3文字の連立方程式なのだが,\ 2乗があるせいで解けない学生が実に多い.
{連立方程式の大原則は1文字消去}であることと{等式1つで文字1つ消せる}ことの認識が要る.
とりあえず,\ とから最も消去しやすいyを消去する.
-をするとx-z=0,\ つまりx=z\ となる.
との2つの式を用いると2つの文字を消去できるはずである.
そこでをに代入するとy-3z=0より,\ y=3z\ となる.
,\ をに代入すると2文字x,\ yが消去でき,\ 11z²=1となる.
2文字消去を目指し,\ x=(zの式),\ y=(zの式)にして3式目に代入していることに注意する.
先読みせず適当にz=x,\ y=3zにしてに代入したりしていると訳がわからなくなる.
1文字消去という観点に立てば,\ をx=y-2zとし,\ これを,\ に代入する方法もある.
y-3z=0と2y²-4yz+5z²=1の2文字の連立方程式に帰着する.
さらに,\ y=3zを2式目に代入すると,\ 11z²=1となる.
本問は,\ 大学1年で学習する外積を用いると素早く求めることができる(別解).
外積については後に詳しく取り上げるのでここでは軽く紹介するに留める.
外積の成分は以下のように求めることができ,\ aとbの両方に垂直なベクトルの1つとなる.
ab=(a₂b₃-a₃b₂,\ a₃b₁-a₁b₃,\ a₁b₂-a₂b₁)
垂直なベクトルの1つ(1,\ 3,\ 1)を大きさ{1²+3²+1²}={11}で割ると,\ 大きさ1にできる.
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