空間の対称点の座標、2点間の距離、三角形の形状、定点から等距離にある点の座標

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点A(4,\ 3,\ 5)について,\ 次の点の座標を求めよ.
ll}
$yz$平面について対称な点B   & $z$軸について対称な点C
原点について対称な点D & 点Aから$x$軸に下ろした垂線の足H
{空間座標
まず,\ 空間の点を図示できるようにしておかなければならない.
(4,\ 3,\ 5)ならば,\ まずx軸上にに4,\ y軸上に3,\ z軸上に5をとる.
後は軸と平行な線分だけで平行六面体を作れば,\ (4,\ 3,\ 5)をとることができる.
例えば,\ 平面において点(1,\ 2)とx軸対称な点の座標は(1,\ -2)であった.
つまり,\ x軸対称ならばy座標の正負が逆になる.\ 空間でもほぼ同様である.
点(x,\ y,\ z)と座標軸,\ 座標平面,\ 原点に関して対称な点の座標は
{x軸対称 (x,\ -y,\ -z)    xy平面 (x,\ y,\ -z)}
{y軸対称 (-x,\ y,\ -z)    yz平面 (-x,\ y,\ z)}
{z軸対称 (-x,\ -y,\ z)    zx平面 (x,\ -y,\ z)}
{原点対称 (-x,\ -y,\ -z)}
x軸に下ろした垂線の足は,\ x座標は変わらず,\ x軸上の点なのでy,\ z座標は0である.
~は図示せずとも解答できるが,\ 図形的な位置関係も確認しておいてほしい.
3点A(1,\ 2,\ 0),\ B(5, 6, 2),\ C($-1$,\ 6,\ $-4$)に対し,\ $$ABCはどのような三角形か.
2点A(2,\ 1,\ 1),\ B(4,\ 2,\ $-2$)から等距離にある$z$軸上の点Pの座標を求めよ.
4点O(0,\ 0,\ 0),\ A(4,\ 0,\ 0),\ B(2,\ $-4$,\ $-2$),\ C(6,\ $-2$,\ 8)から等距離にある点Pの
座標を求めよ.
三角形の形状は3辺の長さで決まる.
空間の2点(x₁,\ y₁,\ z₁)と(x₂,\ y₂,\ z₂)間の距離は {(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)²}
根号が鬱陶しいので3辺の長さの2乗を計算すると,\ 直ちに二等辺三角形であることがわかる.
ただし,\ ここで安心してはならず,\ 直角三角形の可能性も探らなければならない.
直角三角形であるための必要十分条件は,\ 三平方の定理が成り立つことであった.
最後,\ どの辺とどの辺が等しいか,\ どこの角が直角かまで含めて答える.
点\text Pの座標を文字で設定し,\ 等距離となるための条件を立式すればよい.
z軸上の点なので,\ x座標とy座標は0である.
等距離となるための条件は{AP=BP}だが,\ 長さは正なので2乗しても同値である.
等式の数は等号の数に等しいから,\ {OP²=AP²=BP²=CP²}には3つの式が含まれている.
ここから計算が楽な3組を抜き出して連立する.
本問の点\text Pは,\ 4点O,\ A,\ B,\ C}を頂点とする四面体の外接球の中心である.
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