空間の球面と平面の交線

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kyuumen-heimen
球面$(x-2)²+(y+1)²+(z+2)²=16$と次の平面が交わってできる円の中心の座標 と半径を求めよ. xy平面  求める円の中心は,\ 球面の中心から平面に下ろした垂線の足H}である. { }この点と球面の中心Oを通る直線OHの方程式は ${x-2}{-1}={y+1}{2}={z+2}{1$ { }この$直線と平面\ -x+2y+z+12=0\ の交点}より {円の中心 xy平面の式はz=0なので,\ これを球面の式に代入するとz=0上の円の方程式が得られる. {直線{OH}の方向ベクトルは,\ 平面-x+2y+z+8=0の法線ベクトルに等しい.} 法線ベクトルは,\ n=(-1,\ 2,\ 1)\ である. 点(x₀,\ y₀,\ z₀)を通り,\ 方向ベクトルd=(a,\ b,\ c)の直線 {x-x₀}{a}={y-y₀}{b}={z-z₀}{c} 球面の中心(2,\ -1,\ -2)を通り,\ 方向ベクトルd=(-1,\ 2,\ 1)の直線として立式できる. さらに,\ この直線と平面の交点として垂線の足(円の中心の座標)が求まる. 球面の半径は4であるから,\ {三平方の定理}によって円の半径も求まる. {OH}の長さを求めるだけならば,\ {点と平面の距離の公式}の利用が速い. 点(x₀,\ y₀,\ z₀)と平面ax+by+cz+d=0の距離は  さて,\ 交わってできる円は,\ 球面の方程式と平面の方程式をいずれも満たす図形である. よって,\ 交円の方程式は球面の方程式と平面の方程式を連立して得られるはずである. 実際,\ では球面の方程式と平面の方程式$z=0$を連立して円の方程式を得た(?). 単純には,\ も同様に$z$を消去することで円の方程式が得られそうな気がする. 試しに$z=x-2y-8$として球面の方程式に代入してみよう. $2x²-4xy+5y²-16x+26y+25=0}$となるが,\ これは円の方程式ではない. 数IIIの知識を借りれば,\ これは楕円の方程式}である. 球面と平面の交わりは明らかに円であるはずなのに,\ 連立でその式が得られないのである. 何故なのだろうか.\ その理由を理解するには,\ 「連立する」ことの深い理解が必要である. 連立で文字消去するとき,\ 消去した文字の式はもう必要ないと考えられがちである. しかし,\ 例えば つまり,\ 消去した文字の式も残しておいて初めて同値性が保たれるのである. 以上の観点に立ってを見直すと次のようになる. よくよく考えると,\ $(x-2)²+(y+1)²=12$は円の方程式ではない. 空間であるから,\ これは円柱面の方程式($z$軸に平行)である. つまり,\ 交円の方程式\ $ (x-2)²+(y+1)²=12} & (円柱面の方程式}) z=0} & (平面の方程式}) $\ というわけである. 球面と平面を連立して1つの円の式にまとまったのでは決してない. 連立は,\ 球面と平面の交わりから円柱面と平面の交わりへの変換だったのである. では,\ も同様の観点から見直そう.楕円柱面の方程式{球面と平面の交わりから楕円柱面と平面の交わりへの変換である. $z$を消去すると,\ $z$軸に平行な柱を$z$軸に垂直な平面で切断したときの断面の式}が得られる. は円柱面と平面$z=0$が垂直}である. よって,\ 交円を求めることは,\ 柱の$z$軸に垂直な切断面を求めることに等しい}. 一方,\ は楕円柱面と平面$-x+2y+z+8=0$が垂直ではない}. よって,\ 交円を求めることと,\ 柱の$z$軸に垂直な切断面を求めることは別}である. 結局,\ 最初に示したような解法で求めることになる.
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