ねじれの位置にある2直線間の最短距離(共通垂線)

kyoutuusuisen
2点A$(-1,\ 1,\ 1)$,\ B$(0,\ 1,\ 0)$を通る直線を$l$,\ 点C$(0,\ 3,\ 2)$を通り,\ $d=(1,\ 2,\ -1)$ に平行な直線を$m$とする.\ 点P,\ Qがそれぞれ直線$l,\ m$上を自由に動くとき,\ 距離PQ の最小値とそのときのP,\ Qの座標を求めよ. ねじれの位置にある2直線間の最短距離(共通垂線) {各直線を媒介変数で表現すると,\ 2変数関数の最小問題に帰着する.} 1点 A(a)を通り,\ 方向ベクトルdのベクトル方程式は 2点{A,\ B}を通る直線の方向ベクトルはAB}=OB}-OA}である. よって,\ 直線l上の点 Pの座標は,\ OP}=OA}+sAB}\ で求められる. 同様に,\ 直線m上の点 Qの座標は,\ OQ}=OC}+td\ で求められる. 2点(x₁,\ y₁,\ z₁),\ (x₂,\ y₂,\ z₂)間の距離の公式は {(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)²} 根号が鬱陶しいので,\ ここでは2点{P,\ Qの距離の2乗PQ²}を計算した. 整理すると{s,\ tの2変数2次式}となるから,\ これの最小値を求めればよい. 2変数2次式は,\ まず{一方の文字の式とみて平方完成}する. ここではまずsの式とみて平方完成し(tは定数扱い),\ その後残りの部分(tの式)を平方完成した. 常に\ (s-t)²0,\ (t+1)²0\ より,\ {PQ}²\ の最小値は2である.\ 忘れずに平方根にして答える. 最小になるのは, つまり,\ {直線{PQ}が2直線l,\ mの共通垂線になるとき,\ 距離{PQ}が最小になる}のである.

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